Материал: Теория_вероятностей_9_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Закон больших чисел говорит об устойчивости средних значений:

При очень большом числе случайных явлений, протекающих в одинаковых условиях, их средние значения перестают быть случайными и могут быть предсказаны с большой степенью определенности.

26

Теория вероятностей и математическая статистика

Примеры:

Частота случайного события при большом числе опытов будет сколь угодно мало отличаться от вероятности события.

Математическое ожидание случайной величины при большом числе опытов будет сколь угодно мало отличаться от среднего арифметического наблюденных значений этой величины.

27

Теория вероятностей и математическая статистика

Различные формы закона больших чисел образуют ряд так называемых предельных теорем, — это теоремы Чебышёва, Маркова и их следствия — теоремы Бернулли и Пуассона (имеются и другие теоремы, которые мы не будем рассматривать).

28

Теория вероятностей и математическая статистика

Доказательства предельных теорем основываются на неравенстве Чебышёва, которое является для них леммой*, и определении «сходимости по вероятности» последовательности случайных величин к некоторой неслучайной величине.

*Лемма (греч. λημμα — предположение) — доказанное утверждение, полезное не само по себе, а для доказательства других утверждений.

29

Теория вероятностей и математическая статистика

Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин. Для простоты рассмотрим это неравенство для дискретных величин.

Пусть дискретная случайная величина X, задана слудующей таблицей распределения:

30