Материал: Теория_вероятностей_9_22_лекц_1К
Теория вероятностей и математическая статистика
Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величии через а; тогда среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно а.
41
Теория вероятностей и математическая статистика
Сформулируем теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.
Если Х1, Х2, ...., Хn, ... — попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а, и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было положительное число ,
вероятность неравенства
|
|
+ |
|
+ … + |
− а < |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будет как угодно |
близка |
к |
единице, если число |
||||
случайных величин достаточно велико.
42
Теория вероятностей и математическая статистика
Другими словами, в условиях теоремы будет иметь место равенство
|
|
+ |
+ … + |
− а |
< |
= . |
|
|
|
||||
→∞ |
|
|
|
|
|
|
43
Теория вероятностей и математическая статистика
Сущность теоремы Чебышёва:
Хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу, а
именно к числу (М(X1) + М(X2) + ...+ М(Xn))/n (или к числу а в частном случае).
44
Теория вероятностей и математическая статистика
Сущность теоремы Чебышёва:
Иными словами, отдельные случайные величины
могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.
45