Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1 (90

Наиболее вероятное значение СВ Х (мода) m0 0 .

Задача 2. Игральный кубик бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число бросаний (моду), в которых выпало число очков, кратное 6, и вычислить его вероятность.

Если следовать предыдущей задаче, то, для того чтобы найти наивероятнейшее число наступления события А, надо построить ряд распределения СВ Х. СВ Х – число выпадений чисел, крат-

нимает значения 0, 1, 2, …16 с вероятностями, которые вычисляются по формуле Бернулли. После чего выбрать то значение СВ, которое имеет наибольшую вероятность. Очевидно, что такой способ решения трудоемок. Наивероятнейшее число m0 наступле-

Задача 3. Система состоит из пяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента равна 0,3. СВ Х – число отказавших элементов системы.

1.Найти ряд распределения СВ;

2.Построить многоугольник распределения;

3.Найти моду M0 (X ) (наивероятнейшее число отказавших

элементов);

4.Найти математическое ожиданиеM (X ) ;

5.Найти дисперсию D(X ) и среднее квадратичное отклонение (X ) ;

6.Найти вероятность отказа системы, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент;

21

7.Найти вероятность того, что откажет не менее 3 элементов системы;

8.Найти вероятность того, что откажет не менее 2 и не более 4 элементов системы.

Решение.

1.СВ Х ~В(5; 0,3) – СВ Х распределена по биномиальному закону с параметрами n 5, p 0,3.СВ Х принимает значения 0, 1,

2, 3, 4, 5 с вероятностями, которые вычисляем по формуле Бернулли:

2. Многоугольник распределения:

22

3.Мода M0 (X ) 1.

4.Математическое ожидание M (X ) np 5 0,3 1,5 .

5. Дисперсия D(X ) npq 5 0,3 0,7 1,05; среднее квадратичное отклонение

6. СобытиеA ={отказ системы, т. е. отказал хотя бы один элемент системы}. Тогда A ={не отказал ни один элемент}.

P A P X 0 0,16807 . P A 1 P A 1 0,16807 0,83193.

7.СобытиеB ={откажет не менее трех элементов системы}.

P B P X 3 P X 4 P X 5 0,16308.

8.СобытиеC ={откажет не менее двух и не более четырех элементов системы}. P C P X 2 P X 3 P X 4 0,46935.

Распределение Пуассона

ДСВХ имеет распределение Пуассона, если ряд распределе-

ния имеет вид:

СВХ принимает значения 0, 1, 2 … с вероятностями, которые вы-

Задача 1. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,002. СВ Х – число поврежденных изделий. Построить ряд распределения этой СВ. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено:

1)ровно три изделия;

2)менее трех изделий;

3)не менее трех изделий;

4)хотя бы одно изделие.

Решение. СВ Х имеет распределение Пуассона (n 500 велико, p 0,002 мало, 500 0,002 1). СВ Х принимает значения

23

0, 1, 2, 3, …, 500 с вероятностями, которые вычисляются по формуле Пуассона:

p0 P X 0 10!0 e 1 0,3679 ; p1 P X 1 11!1 e 1 0,3679; p2 P X 2 12!2 e 1 0,1839 ;

p3 P X 3 13!3 e 1 0,0613; …

Ряд распределения СВ Х имеет вид:

1)P X 3 0,0613;

2)P X 3 P X 0 P X 1 P X 2 0,9197 ;

3)P X 3 1 P X 3 1 0,9197 0,0803;

4)P X 1 1 P X 0 1 0,3679 0,6321.

Геометрическое распределение

ДСВХ имеет геометрическое распределение, если ряд рас-

пределения имеет вид

СВХ – число независимых опытов до первого наступления события A (до первого «успеха»), если каждый опыт имеет два исхода: событие A и событие A . Вероятность наступления события A (вероятность «успеха») в каждом опыте равна p , вероятность на-

ступления события A (вероятность «неуспеха») в каждом опыте равна q 1 p .

СВХ принимает значения 1, 2, 3 … с вероятностями, которые вычисляются по формуле

24

Задача. В связке из пяти ключей только один подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ (если ключ не подошел, то его возвращают в связку). СВ Х – число опробованных ключей. Построить ряд распределения этой СВ. Найти моду. Сколько ключей в среднем придется перебрать, пока не найдется подходящий?

Решение. СВ Х имеет геометрическое распределение, т. к. испытания ключей независимы (после испытания ключа он возвращается в связку, и каждое следующее испытание происходит в первоначальных условиях). Событие А («успех») = {ключ по-

СВ Х принимает значения 1, 2, 3,… с вероятностями, которые вычисляются по вышеприведенной формуле:

Ряд распределения СВ Х имеет вид:

р0,2 0,16 0,128 0,1024

Мода M0 1. Математическое ожидание СВ M X 5 . Таким

образом, в среднем придется перебрать пять ключей, пока не будет найден подходящий.

25