Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1 (90
|
|
0, |
|
|
x 0, |
|
3. |
f x |
|
|
|
, |
0 x 2, |
a 4 x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
x 2. |
|
|
0, |
|
|
||
|
|
0, |
|
|
x 1, |
|
|
|
|
|
|
1 x 0, |
|
4. |
|
ax x 1 , |
||||
f x |
|
|
0 x 1, |
|||
|
|
ax x 1 , |
||||
|
|
|
|
|
x 1. |
|
|
|
0, |
|
|
||
|
|
0, |
|
|
x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
0 x 1, |
5. |
f x |
ax, |
|
|||
|
|
|
|
1 x 2, |
||
|
|
a 2 x , |
||||
|
|
|
|
|
|
x 2. |
|
|
0, |
|
|
||
|
|
0, |
|
|
x 1, |
|
|
|
|
|
x 2 |
, |
1 x 0, |
6. |
f x |
ax |
||||
|
|
x 2 |
, |
|
||
|
|
ax |
0 x 1, |
|||
|
|
|
|
|
|
x 1. |
|
|
0, |
|
|
||
|
0, |
|
|
x 0, |
||
|
|
|
|
|
0 x 1, |
|
7. |
ax2 , |
|
||||
f x |
|
|
|
|
||
|
a x 2 2 , 1 x 2, |
|||||
|
|
|
|
|
x 2. |
|
|
0, |
|
|
|||
|
0, |
|
x 1, |
|||
|
|
|
x |
1 2 , |
|
1 x 0, |
8. |
a |
|
||||
f x |
|
x |
1 2 , |
|
0 x 1, |
|
|
a |
|
||||
|
|
|
|
|
x 1. |
|
|
0, |
|
||||
|
0, |
|
x 1, |
|||
|
|
|
x |
1 , |
1 x 0, |
|
9. |
a |
|||||
f x |
|
1 x , |
0 x 1, |
|||
|
a |
|||||
|
|
|
|
|
x 1. |
|
|
0, |
|
||||
P 0,5 x 1,5 .
P 0,25 x 0,5 .
P 1 x 1 .
P 0,5 x 1 .
P 0,5 x 1,5 .
P 0,5 x 0,25 .
P 0,5 x 0,25 .
31
9. Распределения НСВ Х
Равномерное распределение на отрезке
НСВ Х имеет равномерное распределение на отрезке a,b ,
если |
|
функция |
плотности |
распределения |
имеет |
вид |
||
|
|
1 |
, x a,b , |
|
|
|
||
f x |
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
|
||||
b |
x a,b . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
0, |
|
|
|
|
|||
0, |
|
x a, |
||
|
a |
|
|
|
x |
|
|
||
Функция распределения имеет вид F x |
|
|
, a x |
b, |
|
a |
|||
b |
x b. |
|
||
1, |
|
|
||
|
|
|
|
|
M X a b |
, |
D X |
b a 2 |
, |
Ml M x , |
As X 0, |
Ex X 1,2. |
2 |
|
|
12 |
|
|
|
|
Моды равномерное распределение не имеет.
Вероятность попадания СВ Х на отрезок c,d a,b вычисляется по формулеP c X d F d F c cb da .
Показательное (экспоненциальное) распределение
НСВ Х имеет показательное |
распределение с |
параметром |
0 , если функция плотности |
распределения |
имеет вид |
|
x |
|
|
f x e |
, x 0, |
||
|
|||
0, |
|
x 0. |
Функция распределения имеет вид
|
e |
x |
|
x 0, |
F x 1 |
|
, |
||
0, |
|
|
x 0. |
|
32
M X |
1 |
, |
D X |
1 |
, |
M0 0, |
Ml |
ln 2 |
, |
As X 2, |
Ex X 6. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормальное распределение (распределение Гаусса)
НСВ Х имеет нормальное распределение с параметрами m и2 , если функция плотности распределения имеет вид
f x |
|
1 |
e |
x m 2 |
|
|
|
|
|
|
2 2 . |
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
t m 2 |
|
Функция распределения имеет вид F x |
|
2 |
2 |
||||||
|
e |
dt . |
|||||||
|
2 |
|
|||||||
M X m, |
D X 2 , |
M0 m, |
Ml m, |
As X 0, |
Ex X 0. |
|
|
|
33 |
|
|
Если m 0, 2 1, то имеем стандартное нормальное распределение, для которого функция плотности распределения
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеет вид f x |
1 |
e |
x |
– функция Гаусса, а функция распреде- |
||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
e |
t2 |
|
|
|
|
|||
ления |
имеет |
вид |
x |
|
|
22 |
dt . |
Заметим, |
что |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x e |
t2 |
|
|
|
|
|
|
||||
0 x , где 0 |
x |
|
|
|
2 dt – функция Лапласа. |
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для |
произвольных |
значений |
|
параметров |
m, 2 функция |
|||||||||||||||
распределения имеет вид F x |
1 |
|
|
|
|
x m |
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вероятность попадания СВ Х на отрезок m1 , m 2 вычисляется по формуле P m1 X m2 F m2 F m1 0 m2 m 0 m1 m .
Отметим, что обозначение СВ Х~ N m, 2 читается так: слу-
чайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами m, 2 .
10. Контрольные и самостоятельные работы
Самостоятельная работа №1
1.Преподаватель вызвал через старосту на обязательную консультацию трех студентов из шести отстающих. Староста забыл фамилии вызванных студентов и послал наудачу трех отстающих студентов. Найти вероятность того, что
а) староста послал именно тех студентов, которых назвал преподаватель;
б) хотя бы один студент из вызванных преподавателем будет послан старостой.
2.У продавца на рынке 60 арбузов, из которых 50 спелых. Покупатель выбирает 2 арбуза. Найти вероятность того, что
а) оба арбуза будут спелые; б) хотя бы один арбуз будет спелым.
34
3.Из 15 билетов выигрышными являются четыре. Найти вероятность того, что
а) средивзятыхнаудачушестибилетовбудетдвавыигрышных; б) хотя бы один будет выигрышным.
4.Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту три вопроса. Найти вероятность того, что
а) студент ответит на все три вопроса; б) студент ответит хотя бы на один вопрос.
5.Для участия в судебном процессе из 20 потенциальных кандидатов, среди которых 8 женщин и 12 мужчин, выбирают 6 присяжных заседателей. Найти вероятность того, что
а) среди присяжных будут две женщины; б) среди присяжных окажется хотя бы одна женщина.
6.Кулинар изготовил 15 омлетов, причем 4 пересолил. Найти вероятность того, что
а) из 3 случайно выбранных омлетов все окажутся непересоленными;
б) хотя бы один окажется пересоленным.
7.Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что
а) среди них окажется точно один туз; б) хотя бы один туз.
8.Студент пришел на экзамен, зная лишь 24 из 32 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что
а) студент ответит на все вопросы; б) студент ответит хотя бы на один вопрос.
9.В коробке 20 конфет, из них 5 шоколадных. Ребенок взял из коробки три конфеты. Найти вероятность того, что
а) среди взятых конфет будет только одна шоколадная; б) среди взятых конфет будет хотя бы одна шоколадная.
10.Группа туристов из 15 юношей и 5 девушек выбирает по жребию хозяйственную команду в составе четырех человек. Найти вероятность того, что
а) в числе избранных окажутся двое юношей и две девушки; б) в числе избранных окажется хотя бы одна девушка.
35