Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1 (90

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение возникает, например, в задаче: пусть имеется N шаров, из них M белых, остальные черные. Делается выборка из n шаров. СВ Х – число белых шаров в выборке. СВХ принимает значения от 0 до n N M с вероятно-

стями, которые вычисляются по формуле

	P X m		CMm CNn mM			.
	P X m					.
	N n npq			CNn
M X np, D x	N n npq	, где		p	M	, q 1 p (доказать!).
	N 1				N

Задача. В партии из 8 деталей 5 стандартных. Наудачу выбирают3 детали. СВХ– числостандартныхдеталейсредиотобранных.

1.Найти ряд распределения СВ;

2.Найти моду M0 (X ) ;

3.Найти математическое ожиданиеM (X ) ;

4.Найти дисперсию D(X ) ;

5.Найти вероятность того, что среди отобранных деталей будет хотя бы одна нестандартная.

Решение. СВ Х распределена по гипергеометрическому закону и принимает значения 0, 1, 2, 3 с вероятностями, которые вычисляются по вышеприведенной формуле:

p P(X 0)		C0	C3		1		;
		5	3
		5	3		56
0		C3			56
			8
p P(X 1)	C1 C2			15		;
p P(X 1)		5	3	56		;
1		C3		56
			8
p P(X 2)		C2	C1		30		;
p P(X 2)		5	3		56		;
2		C3			56
			8
p P(X 3)		C3	C0		10		.
p P(X 3)		5	3		56		.
3		C3			56
			8
1. Ряд распределения СВ Х имеет вид:
			Х		0			1	2	3
			р			1		15	30	10
					56			56	56	56

2.Мода M0 (X ) =2.

3.Математическое ожиданиеM (X ) =158 .

4.Дисперсия D(X ) = 225448 .

5.Событие A = {среди отобранных деталей хотя бы одна не-

стандартная}.

Тогда A ={среди отобранных деталей все стандартные}.

P A P X 3 1056 . P A 1 P A 1 1056 5646 .

8. Непрерывные случайные величины (НСВХ)

Случайная величина	X называется непрерывной, если ее
функция распределения	F(x) P(X x) непрерывна. Функция

f x F x называется функцией плотности распределения, а

ее график называется кривой распределения.

Имеют место следующие свойства:

1. f x 0. Кривая распределения расположена в верхней полуплоскости;

2. f (x)dx 1. Площадь криволинейной трапеции, ограничен-

ной графиком функции f x и осью OX , равна 1;


3. P( X ) f x dx F x			F F .	Вероятность
3. P( X ) f x dx F x			F F .	Вероятность

попадания НСВХ на отрезок ;		равна площади криволинейной
трапеции, ограниченной кривой распределения				f x , прямыми
y 0 (ось OX ), x ,	x ;

4. P X a 0 . Вероятность того, что НСВ Х примет кон-

кретное значение a , равна 0. Поэтому справедливы следующие

равенства P( X ) F X F X F X

F x F F .

Можно считать, что множество значений НСВ Х совпадает с промежутком, на котором плотность распределения не равна 0.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание НСВ определяется по формуле

M x x f x dx .

Дисперсия НСВ определяется по формуле

D x x M X 2 f x dx ,

а также, как и для ДСВ, по формуле D(X ) M (X 2 ) M 2 (X ) ,

гдеM x2 x2 f x dx .

Мода НСВ M0 – это значение СВХ, имеющее наибольшую вероятность, т. е. точкаM0 , в которой функция плотности распределения f x имеет локальный максимум.

Числовые характеристики НСВ: медиана, асимметрия и эксцесс определяются так же, как и для ДСВ.

Задача. Дана функция плотности распределения НСВ Х

0,					x 2,
	3
	3	4 x	2	,
f x					2 x 2,
f x	32				2 x 2,
	32				x 2.
0,					x 2.

1.Найти константу a ;

2.Найти функцию распределения СВХ F x ;

3.Построить графики функций f x и F x ;

4.Найти математическое ожидание СВХ M X ;

5.Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение СВХ D(X ) и (X ) ;

6.Найти вероятность P(X M (X )) , сделать графическую

иллюстрацию;

7. Найти вероятностьP( X M (X ) (X )) , сделать графиче-

скую иллюстрацию; 8. Найти вероятность попадания СВХ на заданный отрезок

P( 1 X 0,5) , сделать графическую иллюстрацию.

Решение.

				2							2											2	4 x2	dx
1. f (x)dx 0 dx a 4 x2 dx																				0 dx a			4 x2	dx
											2								2			2
		x3									8						8				32
a 4x				a					8			a		8								a.
a 4x		3		a					8		3	a		8			3				3	a.
		3									3						3				3
32	a 1;			a				3	.
3	a 1;			a			32		.			0,								x 2,
3							32

													3
													3		4 x		2	,
Таким образом,									f x											2 x 2,
Таким образом,									f x				32							2 x 2,
													32							x 2.
												0,								x 2.

		0,										x 2,
			1		3x					x3
	F x		1		3x					x3	, 2 x					2,
2.
			2			8			32
			2			8			32			x 2.
		1,										x 2.

3.

		2	3	4 x2 dx . Однако интеграл можно
4.	M x	x f x dx
			32
		2

не вычислять. Так как кривая распределения (график функции

f x ) имеет ось симметрии – прямую x 0, то M X															0.
5. Для	вычисления				D(X )			воспользуемся									формулой
D(X ) M X 2 M 2 X . Сначала вычислим
		2	3						3		x	3	x	5		2		4 .
		2										3		5		2
M X 2 x2 f		x dx		x2	4 x2		dx			4
M X 2 x2 f		x dx		x2	4 x2		dx			4
		2	32				32			3 5						2		5
		2														2
Тогда D(X )	4	0 4 , X				4	2	.
Тогда D(X )	5	0 4 , X				4	5	.
	5	5				5	5
6. P(X M (X )) P X 0						1 .
						2

Для вычисления этой вероятности воспользовались геометрической интерпретацией: площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, равна 1, а, следовательно,

половина площади равна 12 .

																2								2								2
																2								2								2
7.	P(		X M (X )			(X )) P									X 0					P									X
7.	P(		X M (X )			(X )) P									X 0		5			P				5					X			5
	2											2					5							5			2					5
	2											2															2
	5		3					3				5						3					x		3							7
	5			4 x2	dx							5	4 x2 dx												3				5
										2										4x													.
		32					32			2							16			4x											5 5		.
	2	32					32					0					16							3				0			5 5
	5
8.					0,5				3		4 x2 dx					3					x	3				0,5				135 .
																										0,5

	P( 1 X 0,5)																		4x


							1 32									32				3						1				256
							1 32																			1
Задачи для самостоятельной работы
					0,										x 0,
1.				f x				x2 ,						0 x 4,						P 2 x 3 .
1.				f x	a 4x			x2 ,						0 x 4,						P 2 x 3 .
															x 4.
					0,										x 4.
					0,										x 0,
2.				f x				x ,					0		x 2,					P x 1,5 .
2.				f x	ax 2			x ,					0		x 2,					P x 1,5 .
															x 2.
					0,										x 2.

Источник: https://studfile.net/preview/16724636/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика
"Волонтерство и его роль в системе социокультурных институтов"