Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1 (90
Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра общей математики
Теория вероятностей и математическая статистика
Часть 1
Практикум
Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов,
обучающихся по направлениям Экономика, Менеджмент организации
Ярославль 2012
УДК 519.2(076.5)
ББК В171я73 + В172я73 Б53
Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2012 года
Рецензент кафедра общей математики
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова
Теория вероятностей и математическая статисти-
Б 53 ка. Ч. 1: практикум / сост. Л. П. Бестужева, Н. Л. Майорова ; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Яро-
славль : ЯрГУ, 2012. – 48 с.
Практикум (часть 1) содержит материалы, необходимые для изучения «Теории вероятностей» – одного из разделов дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»: теоретические сведения, формулы, примеры решения задач по темам, а также контрольные и самостоятельные работы.
Предназначены для студентов, обучающихся по направлениям 080100 Экономика и 080200 Менеджмент организации (дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика», математический цикл (блок ЕН)), очной формы обучения.
УДК 519.2(076.5)
ББК В171я73 + В172я73
©Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2012
2
1. Классическое определение вероятности
Множество 1, 2 n всех возможных исходов экспери-
мента называется пространством элементарных исходов, а ка-
ждый его элемент называется элементарным исходом или элементарным событием. Событием называется любое подмножество A этого пространства: A . Каждому элементарному исходу i поставим в соответствие число pi 0 , называемое его веро-
n
ятностью, такое, что pi 1.
i 1
Простейшим пространством элементарных исходов является так называемая классическая модель, в которой пространство конечно и все исходы эксперимента:
1)равновозможны (т. е. их вероятности полагаются равны-
ми);
2)несовместны (т. е. никакие исходы не могут произойти одновременно);
3)в сумме образуют все пространство (т. е. никакие другие исходы, кроме перечисленных, не могут произойти).
В этом случае вероятность события A определяется по
формуле |
P A m , где n |
– число элементов множества (об- |
|
n |
|
щее число исходов), а m – число элементов множества A (число исходов, благоприятствующих событию A ).
Событие A , состоящее из всех элементарных исходов, не входящих в A , называется противоположным событием к со-
бытию A . Оно происходит тогда и только тогда, когда событие A не произошло. Очевидно, что P A P A 1.
Задача 1. Пусть имеется N шаров, из них M белых, остальные черные. Делается выборка из n шаров. Найти вероятность того, что среди них будет
1)ровно m белых шаров;
2)хотя бы один белый шар.
Решение. Событие A = {в выборке из n шаров ровно m шаров белых}.
3
P A CMm CNn mM . CNn
Событие B = {в выборке из n Событие B = {в выборке из
все выбранные шары черные}.
шаров хотя бы один белый}.
n шаров ни одного белого, т. е.
|
|
|
C0 |
Cn |
Cn |
|
|
|
|||
P B |
P B 1 P B . |
||||||||||
M |
N M |
|
N M |
, |
|||||||
|
n |
n |
|||||||||
|
|
|
|
CN |
CN |
|
|
|
|||
2. Геометрическое определение вероятности
Пусть в некоторую ограниченную область наудачу бросили точку. Слово «наудачу» означает, что в таком эксперименте все точки области «равновозможны». Вероятность попадания этой точки в некоторую подобласть A определяется по формуле P A ммераера А , где мера – это длина, площадь или объем.
Здесь элементарными исходами называются точки множества , а благоприятствующими исходами – точки множества A .
Задача 2 (задача о встрече). Аня и Вася условились встретиться около аудитории 202 между 9 и 10 часами. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи Ани и Васи, если приход каждого из них может произойти наудачу в течение указанного часа и моменты прихода независимы.
Решение. Пусть x – момент прихода Ани, y – момент прихода Васи. Рассмотрим множество точек x, y на плоскости, коор-
4
динаты которых удовлетворяют условиям 0 x 60, |
0 y 60 |
(масштаб 1 минута). Здесь пространство элементарных исходов – множество точек квадрата со стороной 60.
Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы x y 20. Множество точек
x, y на плоскости, координаты которых
удовлетворяют этому условию, представляет собой заштрихованную полосу.
Вероятность встречи равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади квадрата:
P A 602 2402 5 . 60 9
3. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность
Суммой (объединением) двух событий A и B называется событие A B A B , которое состоит в том, что произойдет
событие A , либо событие B , либо события A и B одновременно.
Произведением (пересечением) двух событий A и B назы-
вается событие A B |
A B , которое состоит в одновременном |
появлении событий A |
и B |
Отрицанием (противоположным событием) для события A
называется событие A , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A .
События A и B называются несовместными (непересе-
кающимися), если они не |
могут |
произойти одновременно: |
|
A B . |
|
|
|
События A1, A2 , |
An образуют полную группу событий, если |
||
n |
|
|
|
Ai , |
Ai Aj |
, i j. |
|
i 1
Теорема 1 (сложения вероятностей несовместных событий).
Если A B , то P A B P A P B .
Теорема 2 (сложения вероятностей произвольных событий). Для любых событий A и B P A B P A P B P A B .
5