Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1 (90

5. Формула Бернулли. Формулы Лапласа и Пуассона

Схема Бернулли. Проводится n независимых опытов (независимые опыты такие, при которых вероятность появления события в каждом опыте не зависит от результатов предыдущих опытов). Каждый опыт имеет только два исхода: «успех» – событиеA и «неуспех» – противоположное событие. Вероятность наступления события A (вероятность «успеха») в каждом опыте равна р, вероятность наступления события A (вероятность «неуспеха») в каждом опыте равна q 1 p . Вероятность того, что в n незави-

симых опытах событие A наступит m раз, вычисляется по фор-

муле Бернулли

Pn (m) Cnm pmqn m .

В этой формуле m может принимать значения 0, 1, 2…n : m 0– событие A в n независимых опытах наступило 0 раз, т. е. не наступило ни разу; m 1– событие A в n независимых опытах наступило один раз; m 2 – событие A в n независимых опытах наступило два раза; …; m n – событие A в n независимых опытах наступило n раз, т. е. наступило во всех опытах.

Число M0 , при котором значение вероятности будет

наибольшим, называется наивероятнейшим числом наступления события A и вычисляется по формуле np q M0 np p , если

np q – дробное число. Если np q – целое число, то M0 np q . Нахождение вероятностей Pn (m) по формуле Бернулли при

достаточно больших значениях n сопряжено с большим числом вычислений. В этом случае используется приближенная локаль-

ная формула Лапласа

дятся в таблице.

Если m1 m m2 , то используется приближенная интеграль-

ная формула Лапласа

11

при npq 9 . Чем ближе значения p,q к 0,5 и чем больше n, m, тем

точнее данные формулы.

Если n велико, а p мало, то используется приближенная

формула Пуассона

Pn (m) m e , m!

где np – среднее число появления события A в n опытах. Этой формулой можно пользоваться, если p 0,1 npq 9 . Cобытия, для

которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления мала.

Интенсивность потока – это среднее число событий, которые наступают в единицу времени. Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность того, что за время t событие наступит m раз, вычисляется по формуле

Pt (m) ( t)m e t . m!

Задача 1. Среди 12 договоров, проверяемых ревизором, 7 договоров оформлены неправильно. Найти вероятность того, что среди 5 договоров, произвольно отобранных ревизором для проверки, окажутся неправильно оформленными ровно три.

Решение. Проверка договора – это испытание, в котором может появиться событие A ={договор оформлен неправильно}:

p P A 127 . Проведено n 5 проверок. По формуле Бернулли

находим вероятность того, что в 5 испытаниях событие A наступит 3 раза:

12

Задача 2. В продукции некоторого производства брак составляет 20%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятность того, что

1)наудачу взятая коробка содержит 15 бракованных изделий;

2)число бракованных изделий в коробке не больше 25. Решение. Производство изделия – это испытание, в котором

1,25 5 0,39 0,5 0,89.

Таким образом, приблизительно 5% всех коробок содержит 15 бракованных изделий и в 89% коробок число бракованных изделий не больше 25.

Задача 3. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных?

Решение. Здесь np 1000 0,001 1. По формуле Пуассона находим

P1000 5 15 e 1 0,003. 5!

6. Дискретная случайная величина Х (ДСВХ)

Ряд распределения ДСВХ имеет вид:

ятности, т. е. p1 – это вероятность того, что СВХ примет значение

13

n

p1 p2 ... pn 1, или коротко pi 1.

i 1

Функция распределения СВХ – это вероятность того, что СВХ примет значение меньшее, чем конкретное числовое значе-

ние x : F(x) P(X x) .

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическое ожидание ДСВ – это сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности:

n

M (X ) x1 p1 x2 p2 ... xn pn , или коротко M (X ) xi pi

i 1

Математическое ожидание – это число, вокруг которого сосредоточены значения СВ.

Свойства математического ожидания.

1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: M (C) C .

2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M (CX ) CM (X ) .

3.Математическое ожидание суммы СВ равно сумме мате-

4. Математическое ожидание произведения взаимно независимых СВ равно произведению математических ожиданий со-

множителей M (X1 X2 ... Xn ) M (X1) M (X2 ) ...M (Xn ).

Дисперсия СВ есть математическое ожидание квадрата от-

значений СВ около ее математического ожидания.

Свойства дисперсии:

1.Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(C) 0 .

14

2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(CX ) C2 D(X ) .

3.Дисперсия суммы (разности) независимых СВ равна сумме дисперсий слагаемых:

4.D(X ) M (X 2 ) M 2 (X ) .

P X Ml P X Ml 12 . Для ДСВ Х это число может не совпа-

дать ни с одним из значений Х. Поэтому медиану ДСВ Х определяют как любое число, лежащее между двумя соседними воз-

Центральным моментом k -го порядка называется матема-

тическое ожидание k -й степени отклонения СВ от ее математи-

ческого ожидания: k M (X M (X ))k . Очевидно, что

2 M (X M (X ))2 D X .

Асимметрия (коэффициент асимметрии) СВ AS X – вели-

чина, характеризующая степень асимметрии («скошенности») распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле:

AS(X ) M (X M (X ))3 / 3 , т. е. AS(X ) 33 .

Для симметричных распределений AS(X ) 0 . Если AS(X ) 0 ,

то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания («скошенность влево»); если AS(X ) 0 , то либо большая часть значений случайной

величины, либо мода находятся правее математического ожидания («скошенность вправо»).

15