Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1 (90

Эксцесс (коэффициент эксцесса) СВ EX (X ) – величина, ха-

рактеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения. Коэффициент эксцесса вычисляется по формуле:

EX (X ) M (X M (X ))4 / 4 3 , т. е. ES(X ) 44 3.

Задача 1. В связке из пяти ключей только один подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ (если ключ не подошел, то его в связку не возвращают). СВ Х – число опробованных ключей. Построить ряд распределения этой СВ. Сколько ключей в среднем придется перебрать, пока не найдется подходящий.

Решение. СВ Х принимает значения 1, 2, 3, 4, 5. Если первый опробованный ключ подошел, то X 1. P X 1 15 . Если опробованных ключей было два, то X 2 , т. е. первый ключ не подошел, а второй подошел. P X 2 54 14 15 . Если опробованных ключей было три, то X 3, т. е. первый ключ не подошел, второй ключ не подошел, а третий подошел. P X 3 54 34 13 15 . Аналогично вы-

числяются P X 4 54 43 32 12 15 и P X 5 54 43 32 12 11 15 .

Ряд распределения СВ Х имеет вид:

Х 1 2 3 4 5

р0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

Вычислим математическое ожидание СВ Х:

M X 1 0,2 2 0,2 3 0,2 4 0,2 5 0,2 3 . Таким образом, в

среднем придется перебрать три ключа, пока не будет найден подходящий.

Задача 2. Дан ряд распределения ДСВ Х:

16

1.Найти параметр a ;

2.Построить многоугольник распределения;

3.Найти функцию распределения F(X ) ;

4.Построить график функции распределения F(X ) ;

5.Найти моду M0 (X ) ;

6.Найти математическое ожиданиеM (X ) ;

7.Найти дисперсию D(X ) и среднее квадратичное отклонение (X ) ;

8.Найти коэффициент асимметрии AS(X ) ;

9.Найти коэффициент эксцесса EX (X ) ;

10.Найти вероятность того, что СВ X примет значение меньше M (X ) ;

11.Найти вероятность того, что СВ X примет значение больше 0,5 M (X ) .

Решение.

1. Так как сумма всех вероятностей должна быть равна 1, то a 0,1. Таким образом, ряд распределения СВХ имеет вид:

2. Многоугольник распределения:

17

3. Функции распределения F(X ) имеет вид:

4. График функции распределенияF(X ) :

5.Мода M0 (X ) 0 .

6.Математическое ожидание:

M X 2 0,1 1 0,2 0 0,5 1 0,1 2 0,1 0,1.

Для вычисления дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса составим таблицу для отклонений значений СВХ от ма-

18

лить по формуле D(X ) M (X 2 ) M 2 (X ) . Ряд распределения СВX 2 имеет вид:

Математическое ожидание M (X 2 ) 0 0,5 1 0,3 4 0,2 1,1. Тогда D(X ) 1,1 ( 0,1)2 1,09 . Среднее квадратичное откло-

нение (X ) 1,09 1,044 .

8. Вычислим математическое ожидание M (X M (X ))3 :

M (X M (X ))3 ( 1,9)3 0,1 ( 0,9)3 0,2 (0,1)3 0,5(1,1)3 0,1 (2,1)3 0,1 0,228.

Тогда коэффициент асимметрии AS(X ) 10,228.0443 0,200353.

9. Вычислим математическое ожидание M (X M (X ))4 :

M (X M (X ))4 ( 1,9)4 0,1 ( 0,9)4 0,2(0,1)4 0,5 (1,1)4 0,1 (2,1)4 0,1 3,36039 .

Тогда коэффициент эксцесса EX (X ) 3,360391,0444 0,1713 .

10.P(X 0,1) P(X 2) P(X 1) 0,1 0,2 0,3.

11.P(X 0.05) P(X 0) P(X 1) P(X 2) 0,5 0,1 0,1 0,7 .

7. Распределения ДСВ Х

Биномиальное распределение

ДСВ Х имеет распределение Бернулли: B 1, p , если ряд рас-

пределения имеет вид:

19

СВХ имеет два значения 0 и 1, которые она принимает с вероятностями q 1 p и p соответственно.

СВХ – число m наступлений события А в n независимых испытаниях, т. е. СВХ принимает значения 0, 1, 2 …, n , с вероятностями, которые вычисляются по формуле Бернулли pm P(X m) Pn (m) Cnm pmqn m . Математическое ожидание и дис-

Задача 1. Бросают три игральных кубика. СВ Х – число выпавших шестерок. Составить ряд распределения СВХ. Сделать вывод о наиболее вероятном значении СВ Х.

Решение. Отметим, что бросить три кубика – это все равно, что бросить один кубик три раза, т. е. n = 3. Событие

ностями, которые вычисляются по формуле Бернулли:

20