Материал: Теоретическая механика. Ч. 3. Динамика. учебное пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс

Рассмотрим относительное движение системы только относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с центром масс системы.

Прежде чем рассмотреть теорему, выведем формулу для вычисления кинетического момента системы.

Ф

Рис. 41

ормула для кинетического момента системы. Пусть механическая система совершает движение относительно основной системы координат . Возьмем подвижную систему координат с началом в центре масс системы , движущуюся поступательно относительно основной системы координат. Из рис. 41 следует, что для любого момента времени .

Дифференцируя это тождество по времени, получаем

или ,

где – абсолютная скорость точки ; – абсолютная скорость центра масс; – относительная скорость точки относительно подвижной системы координат . При поступательном движении подвижной системы координат ее угловая скорость равна нулю и по формуле Бура полная производная по времени от радиуса-вектора совпадает с локальной производной, равной относительной скорости.

Согласно определению кинетического момента относительно неподвижной точки , для абсолютного движения системы относительно системы координат по формуле (105) имеем

.

Подставляя в эту формулу значения и после небольших преобразований получаем

. (113)

В этой формуле – масса системы. Кроме того, последние два слагаемых равны нулю. Действительно, по определению радиуса-вектора центра масс относительно этого центра масс имеем

.

Следовательно, и последнее слагаемое в (113) тоже равно нулю.

Другое слагаемое можно предварительно преобразовать:

.

Это слагаемое также равно нулю, так как все время . Формула (113) принимает следующий окончательный вид:

, (114)

где .

Величина является кинетическим моментом системы относительно центра масс для относительного движения относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с центром масс, т. е. системы координат .

Формула (114) показывает, что кинетический момент абсолютного движения системы относительно неподвижной точки равен векторной сумме кинетического момента центра масс относительно той же точки, если бы в центре масс была сосредоточена вся масса системы, и кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движение системы по отношению к подвижной системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс.

Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс. Для абсолютного движения системы и неподвижной точки теорема об изменении кинетического момента имеет вид

.

Подставляя сюда значения и по формуле (114) и производя дифференцирование и группировку членов, получаем

Перенося из правой части в левую первое слагаемое и учитывая, что

,

после объединения слагаемых имеем

.

В этой формуле выражение в квадратных скобках равно нулю на основании теоремы о движении центра масс системы (113) и, следовательно, формула примет вид

или , (115)

где является главным моментом всех внешних сил относительно центра масс.

Формула (115) и выражает рассматриваемую теорему об изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс; она формулируется так же, как если бы центр масс был неподвижной точкой.

Эту теорему применяют для изучения вращательной части плоского движения и движения свободного твердого тела вокруг центра масс.

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

Используя теоремы о движении центра масс и изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс, получим дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.

В плоскости движения центра масс тела, совершающего плоское движение, выберем неподвижную систему координат , относительно которой рассматривается движение, и движущуюся поступательно вместе с центром масс систему (рис. 42).

П

Рис. 42

усть – координаты центра масс тела относительно неподвижной системы координат. Тогда по теореме о движении центра масс получим два следующих дифференциальных уравнения плоского движения твердого тела:

, .

Третье дифференциальное уравнение плоского движения твердого тела получим из теоремы об изменении кинетического момента в относительном движении по отношению к центру масс (115) в проекции на подвижную ось .

Плоское движение твердого тела можно считать состоящим из поступательного движения вместе с центром масс и вращения вокруг подвижной оси . Для случая вращения вокруг оси кинетический момент относительно этой оси вычисляется по формуле

,

где – угловая скорость; – момент инерции тела относительно оси .

Так как является величиной постоянной, то после подстановки в теорему об изменении кинетического момента в относительном движении получим

.

Если ввести угол поворота вокруг подвижной оси , то получим следующее дифференциальное уравнение:

.

Таким образом, для твердого тела, совершающего плоское движение и, следовательно, имеющего три степени свободы, соответственно получим следующие три дифференциальных уравнения:

, , . (116)

С помощью этих уравнений можно решать две основные задачи: по заданному плоскому движению твердого тела находить действующие на тело внешние силы и по заданным внешним силам и начальным условиям определять его движение. При решении этих задач должны быть заданы масса тела и его момент инерции.

Теорема Резаля

Т

Рис. 43

еореме об изменении кинетического момента системы можно дать следующее кинематическое истолкование. Из кинематики точки известно, что скорость точки можно рассматривать как скорость конца радиуса-вектора, следящего за движущейся точкой, или как скорость изменения самого радиуса-вектора, если он проведен в движущуюся точку из какой-либо неподвижной точки (рис. 43). Траектория движущейся точки при этом является годографом радиуса-вектора , а скорость точки направлена по касательной к этому годографу и равна первой производной по времени от радиуса-вектора. Аналогично этому, и производную по времени от кинетического момента можно рассматривать как своеобразную скорость конца этого вектора при движении по годографу кинетического момента (рис. 44). Эта скорость не является обычной скоростью точки, так как кинетический момент имеет иную размерность, чем радиус-вектор. Это есть скорость изменения вектора кинетического момента.

Т

Рис. 44

аким образом, если обозначить через скорость конца кинетического момента, т. е. , то теорему об изменении кинетического момента системы (109) можно представить в новой форме – в виде так называемой теоремы Резаля:

.

Теорему Резаля можно сформулировать так: при движении механический системы скорость точки, совпадающей с концом вектора кинетического момента при движении по годографу этого вектора, равна по величине и параллельна по направлению главному моменту всех внешних сил системы. Точка, относительно которой вычисляются кинетический момент системы и главный момент внешних сил, одна и та же.

В форме теоремы Резаля может быть сформулирована теорема об изменении кинетического момент в относительном движении по отношению к центру масс.

Теорема Резаля особенно удобна для приближенного исследования движения быстровращающихся гироскопов.

Аналогично и теорему об изменении количества движения для системы можно сформулировать в форме теоремы Резаля для количества движения: при движении механической системы скорость точки, совпадающей с концом вектора количества движения при движении по его годографу, равна по величине и параллельна по направлению главному вектору всех внешних сил, действующих на систему.