Материал: Строительная механика и сопротивление материалов. Сафронов В.С., Ефрюш

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

На рис. 3 показаны эпюры изгибающих моментов и прогибов для сталежелезобетонной балки при действии распределенной нагрузки q и сосредоточенной силы F , приложен-

ной в середине второго пролета (

94,5

м).

Рис. 3. Эпюры изгибающих моментов и прогибов

Изгибающие моменты в опорных сечениях отрицательные, следовательно, в верхних волокнах поперечных сечений возникают растягивающие напряжения.

На рис. 4 представлены графики изменения изгибающих моментов в 1-м и 2-м опорных сечениях в зависимости от положения сосредоточенной силы.

Рис. 4. Графики изменения изгибающего момента в 1-м и 2-м опорных сечениях

Отрицательный изгибающий момент вызывает растягивающие напряжения в верхних волокнах опорных поперечных сечений балки, которые могут достигать предела прочности бетона на растяжение. В качестве предельных значений изгибающих моментов примем следующие: пред к м; пред к м. Этим значениям изгибающих моментов отвечают значения растягивающих нормальных напряжений:

Значения предельных изгибающих моментов отмечены на рис. 4

горизонтальными линиями. Красным цветом на них выделены участки балки, при расположении на которых силы F , в опорных поперечных сечениях могут возникать предельные растягивающие напряжения.

В последующих расчетах мы будем использовать понятие коэффициента снижения

изгибной жесткости в окрестности точки поперечного сечения (0 1) . Коэффициент
учитывает частичное вовлечение бетона в работу на растяжение [1]. Суть коэффициента				в
следующем. Если при определенном положении силы F на балке в верхних волокнах попе-
речного сечения с координатой	x	i	напряжение превышает предельное значение,	то
		i

ослабляем соответствующее сечение, меняя его изгибную жесткость в окрестности точки

EJ (xi ) EJ (xi ) (скорректированная на участке изгибная жесткость при новом поло-
жении силы			остается неизменной). В расчетах		значение коэффициента		принималось рав-
ным	0,7		.
ным			.
	2. Расчет неразрезной балки переменного сечения методом конечных разностей
	Дифференциальные уравнения равновесия балки переменного сечения имеют вид
					,			(1)
					,
								(2)
					,
где V (x) ,		M (x) - искомые функции прогиба и			изгибающего момента,		EJ (x) - изгибная
жесткость,		q	- интенсивность распределенной нагрузки, Dirac(x xi )				-	дельта функция
Дирака, фиксирующая положение сосредоточенной силы F в точке						xi .
	Для шарнирно опертой по концам балки прогибы и изгибающие моменты в концевых
точках равны нулю:
			V (0) 0, M (0) 0,V (L) 0, M (L) 0,					(3)
где L	- длина балки.
	Решение дифференциальной задачи (1)-(3) выполняется методом конечных разностей.
Отрезок интегрирования				разбивается на	участков длиной h L / n . Координаты уз-
ловых точек полученной сетки связаны формулой
				)	.			(4)
	Значение вторых производных в точке заменяем приближенно с помощью формул
численного дифференцирования:
								(5)
						,
								(6)
					, (i 1,...,n 1) .
Соотношения (5), (6) справедливы с точность до величин порядка						. При увеличении числа
дискретных элементов (участков разбиения) погрешность стремится к нулю								).
	Краевые условия (3) принимают вид
			V (x0 ) 0, M (x0 ) 0,V (xn ) 0, M (xn ) 0 .					(7)

После подстановки выражений (6) в (5), а затем в (1) приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных прогибов V (xi ) в узлах сетки:

(8)

На рис. 5 представлена структура матрицы жесткости балки переменного сечения при разбиении балки на n=9 элементов. Матрица симметричная, пятидиагональная, положительно определенная. На рис. 5 показан также фрагмент программного кода ее создания в системе символьной математики Maplе.

Выполняется генерация трех списков: d1 - элементы главной диагонали; d2 - элементы 2-й диагонали (расположенной под главной); d3 - элементы 3-й диагонали. Сформированная таким образом матрица зависит от списка изгибных жесткостей балки EJ[k] в узлах сетки. При изменении значений изгибных жесткостей EJ[k] (на предмет появления трещин в

бетоне) автоматически корректируется матрица A0.

Рис. 5. Структура матрицы жесткости

Вектор узловых сил корректируется при каждом новом положении силы F. Сила F приводится в узлы дискретного элемента, на котором она находится по правилу рычага. Соб-

ственный вес моделируем распределенной нагрузкой

q .

Матрица жесткости неразрезной балки получается из матрицы жесткости однопролетной балки ( L 189 м). Сетка вдоль балки наводится так, чтобы координаты промежуточных опор совпадали с узлами сетки. Далее обнуляются строки и столбы матрицы A0 с номерами узлов, отвечающих промежуточным опорам. Элементам главной диагонали матрицы с этими номерами присваиваем значения, равные единице, а соответствующие компоненты вектора правой части делаем равными нулю.

В последующих расчетах шаг дискретизации назначался по результатам сравнения

конечно-разностного	и точного (построенного в Maple) решений. При шаге
h L / n 189 / 189 1 м	погрешность M в определении изгибающих моментов не превы-

шала

0, 01

Систему линейных алгебраических уравнений решаем методом Холецкого. Определяем прогибы, после чего по значениям функции прогибов в узлах сетки вычисляем значения изгибающих моментов по формулам (6).

3. Алгоритм расчета неразрезной сталежелезобетонной балки на подвижную нагрузку с учетом раскрытия трещин

Расчет неразрезной сталежелезобетонной балки на подвижную нагрузку с учетом раскрытия трещин выполнялся по следующему алгоритму:

1.	Задаем интенсивность постоянной нагрузки q=5.772 к /м и величину перемещаемой силы
	F=400	к ; предельные изгибающие моменты		;
		и коэффициент снижения изгибной жесткости	0,7	; шаг дискретизации
		и коэффициент снижения изгибной жесткости		; шаг дискретизации
	балки	h 1 м ;
2.	Перемещаем нагрузку F по балке с шагом h и вычисляем перемещения и изгибающие
	моменты в узлах сетки;

3.При каждом положении нагрузки сравниваем вычисленные изгибающие моменты с предельным значением изгибающего момента. Если изгибающий момент превышает предельное значение, то ослабляем соответствующее сечение, меняя его изгибную жесткость

(

EJ	k
	k

EJk

) (скорректированная на участке изгибная жесткость при новом положе-

нии силы остается неизменной);

(

пред

4.Определяем координаты положений сил, при которых происходит выключение бетона из работы, и координаты ослабленных сечений, отвечающих данному положению сил, строим графики.

На рис. 6 представлена схема раскрытия трещин при перемещении силы F по балке

.1 3500 к м ). Первый отрезок на рисунке отмечен сноской 12 – 64. Первое число

указывает на координату ослабленного сечения.

x 12 м

приложения силы

, а второе на координату

x 64 м

Рис. 6. Схема раскрытия трещин по длине балки при пред

кН м

Ниже приведен список координат приложения силы и соответствующие координаты ослабленных сечений:

[[12, 64], [15, 65], [17, 63], [18, 66], [22, 67], [25, 2],[27, 68], 34, 69], 81,127], [86, 128], [88, 126], [92,129], [137, 125], [140, 124], [143, 123], [150, 122]].

На рис. 7 показан график изменения изгибной жесткости при перемещении нагрузки по балке.

Рис. 7. График изменения изгибной жесткости при пред к м

Раскрытие трещин в окрестности первой промежуточной опоры происходило на участках балки с координатами [64, 65. 63, 66, 67, 62, 68, 69] (координата опорного сечения х 63 м ). Длина зоны раскрытия трещин составила 7 м. Последовательность координат сече-

ний появления трещин не является возрастающей. Раскрытие трещин происходит при расположении силы в первом пролете слева от опорного сечения.

Раскрытие трещин в окрестности второй промежуточной опоры (координата опорного сечения х 126 м ) происходило на двух участках балки с координатами: [127, 128, 126,

129] (сила во втором пролете); [125, 124, 123, 122] (сила в третьем пролете). Длина зоны раскрытия трещин составила 7 м. Последовательность координат сечений появления трещин не является возрастающей. Раскрытие трещин происходит при расположении силы слева и

справа от опорного сечения.
Аналогичный расчет выполняем для предельного момента	.
Схема раскрытия трещин представлена на рис. 8.

Рис. 8. Схема раскрытия трещин по длине балки при пред

кН м

Источник: https://studfile.net/preview/16568837/

Смотрите также:



_Rezonans_napryazheniy
_Ugolov_Process_05
'Fratres' Арво Пярта - молитва в музыке
'Миссия университета' как научно-педагогический концепт эпохи постиндустриального развития
«Досрочные страховые пенсии»
«Характеристика объектов коммерческой деятельности в торговле»
(никита)KUL_T_KL_EKZAMEN
[1 курс] БЖД