Материал: Шилов Лабораторный практикум курса обсчей физики Разделы 2012
Работа 2.10
БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Цель: изучение распределения молекул идеального газа по координатам и его основных характеристик.
Оборудование: прибор для моделирования теплового движения, источник питания, стробоскоп, фотодатчик, миллисекундомер, стеклянные и стальные шарики.
ВВЕДЕНИЕ
Любые макроскопические тела, находящиеся в поле внешних сил, стремятся занять положение, отвечающее минимальной потенциальной энергии, т.е., оказываясь в поле тяжести Земли, они занимают положение, отвечающее минимальной высоте. Но молекулы идеального газа участвуют в постоянном хаотическом тепловом движении и не могут упасть на поверхность Земли, даже находясь в поле силы тяжести.
В отсутствие внешних силовых полей за счет теплового движения молекулы газа распределяются в пространстве равномерно, но
в случае действия внешнего си- Рис. 2.10.1 лового поля их распределение в
пространстве меняется. Установим характер их распределения, рассмотрев вертикальный столб воздуха с площадью поперечного сечения S, находящийся в поле действия силы тяжести.
Выделим элементарный объем газа высоты dh, и рассмотрим силы, действующие на него (рис. 2.10.1). Масса рассматриваемого
106
элемента газа dm =ρSdh . Так как выделенный элемент находится в равновесии, то суммарная сила должна быть равна нулю:
−dm g + p(h)S − p(h +dh)S =0 .
Подставляя выражение для массы и сокращая выражение на S, получаем
ρg dh = p(h)− p(h + dh) = −dp . |
(2.10.1) |
Давление, создаваемое газом, связано с концентрацией молекул n уравнением состояния идеального газа p =nkT , считая, что темпе-
ратура не меняется, получаем |
|
dp = kT dn . |
(2.10.2) |
Плотность газа также можно выразить через его концентрацию и массу молекулы газа m:
ρ= m n . |
(2.10.3) |
Подставляя выражения (2.10.2) и (2.10.3) в уравнение (2.10.1), получаем дифференциальное уравнение, связывающее концентрацию с высотой
dnn = − mgkT dh .
Решая это уравнение, получаем зависимость концентрации молекул от высоты в поле силы тяжести в приближении изотермической атмосферы
n(h)= n exp |
|
− mgh |
, |
(2.10.4) |
|
0 |
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где n0 – концентрация молекул на нулевой высоте.
Соотношение (2.10.4) может быть представлено через молярную массу M газа, а не через массу каждой молекулы. Учитывая что m = M / NA , получаем
n(h)= n |
exp |
|
− |
Mgh |
= n |
exp |
|
− Mgh . |
(2.10.5) |
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
NAkT |
|
|
|
RT |
|
|
Соотношения (2.10.4) и (2.10.5), определяющие зависимость концентрации молекул от высоты в поле силы тяжести Земли, называ-
ются распределением Больцмана в поле силы тяжести.
107
Из формулы (2.10.4) следует, что с понижением температуры число частиц на высотах, отличных от нуля, убывает, а при температуре, равной абсолютному нулю, вообще обращается в нуль. При абсолютном нуле все молекулы упали бы на земную поверхность, так как при нулевой температуре интенсивность теплового движения обращается в нуль. При высоких температурах, напротив, концентрация n слабо убывает с высотой, так что молекулы оказываются почти равномерно распределенными по высоте.
Этот факт имеет простое физическое объяснение. Каждое конкретное распределение молекул по высоте устанавливается в результате действия двух тенденций: 1) притяжение молекул к Земле (характеризуемое силой mg ) стремится расположить их на поверхно-
сти Земли; 2) тепловое движение (характеризуемое величиной kT ) стремится разбросать молекулы по всем высотам. Чем больше m и меньше T, тем сильнее преобладает первая тенденция, и молекулы сгущаются у поверхности Земли. При высоких температурах превалирует тепловое движение, и молекулы стремятся, как можно равномернее распределиться в занимаемом им сосуде, т.е. концентрация молекул медленно убывает с увеличением высоты.
Если число частиц остается неизменным, то при изменении температуры меняется концентрация частиц на нулевом уровне. Выясним, как они связаны между собой.
Полное число частиц определяется через концентрацию следующим интегралом
|
N = ∫n dV = ∞∫n(h)Sdh , |
(2.10.6) |
|
0 |
|
|
где S – площадь сечения рассмат- |
|
|
риваемого столба воздуха. Запи- |
|
|
санный интеграл пропорционален |
|
|
площади под графиком зависимо- |
|
|
сти концентрации молекул от вы- |
|
|
соты, т.е. площадь под кривой не |
|
|
должна изменяться при увеличе- |
|
|
нии и уменьшении |
температуры |
|
(рис. 2.10.2). Это возможно только |
|
|
при изменении концентрации на |
|
Рис. 2.10.2 |
нулевой высоте. |
|
108
Рассмотрение интеграла (2.10.6) определяет концентрацию на нулевой высоте n0 = NS kTmg , т.е. отношение концентраций на нуле-
вой высоте связано с температурами следующим образом:
n0 |
= T′ . |
(2.10.7) |
n0′ |
T |
|
На рис. 2.10.2 приведены графики зависимости концентрации молекул идеального газа от высоты для двух температур, отличающихся в три раза.
Барометрическая формула. Зная зависимость концентрации молекул от высоты в поле силы тяжести, при помощи уравнения состояния идеального газа легко можно получить зависимость дав-
ления создаваемого столбом газа от высоты. Концентрация n(h) молекул на высоте h
n(h)= |
p (h) |
, |
(2.10.8) |
|
kT |
||||
|
|
|
концентрация n0 молекул на нулевой высоте
n = |
p0 |
, |
(2.10.9) |
|
|||
0 |
kT |
|
|
|
|
|
где p0 – давление, создаваемое газом на нулевой высоте.
Подставляя выражения (2.10.8) и (2.10.9) в зависимость (2.10.4) и предполагая, что температура на различной высоте одинакова, получаем
p(h)= p exp |
|
− mgh . |
(2.10.10) |
|
0 |
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
Соотношение (2.10.10), аналогично распределению Больцмана, может быть представлено через молярную массу газа, а не через массу каждой молекулы
p(h)= p |
exp |
|
− Mgh . |
(2.10.11) |
|
0 |
|
|
RT |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, для изотермической атмосферы зависимость давления от высоты может быть описана соотношениями (2.10.10)
и (2.10.11), называемыми барометрическими формулами.
109
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Для изучения закона распределения молекул идеального газа по высоте в поле тяжести Земли используется механическая модель. На рис. 2.10.3 приведена экспериментальная установка для моделирования распределения Больцмана.
Рис. 2.10.3
Роль молекул играют стальные или стеклянные шарики, определенное количество которых помещено во внутреннее пространство прибора для моделирования теплового движения 4. Шарики приводятся в движение благодаря колебаниям основания прибора и абсолютно упруго сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Таким образом, имитируется тепловое движение молекул, интенсивность которого, т.е. температура газа, будет определяться частотой колебаний основания. Интенсивность «теплового» движения можно изменять, меняя напряжение, подаваемое на прибор от источника питания 2. Измерение частоты колебаний основано на стробоскопическом эффекте: если при освещении основания стробоскопом 1 оно кажется неподвижным, то частота колебаний основания и частота вспышек лампы стробоскопа совпадают.
Для определения концентрации молекул на определенной высоте в данной работе используется фотодатчик (рис. 2.10.4). При ус-
110