Материал: Шилов Лабораторный практикум курса обсчей физики Разделы 2012
пружины l оказывается пропорциональным растягивающей силе: l F . Соответственно, упругая сила оказывается пропорциональной удлинению пружины:
F = κΔl .
Коэффициент пропорциональности κ называется коэффициентом жесткости пружины, или просто жесткостью пружины, и имеет размерность [Н/м].
Пусть грузик массой m, подвешенный на невесомой пружине жесткости κ, совершает вертикальные колебания. Возьмем начало О оси Х в положении равновесия, где сила mg уравновешивается упругой силой:
mg = κΔl , |
(2.1.1) |
где l – модуль удлинения пружины. Тогда при смещении грузика в положение, характеризуемое координатой х, основное уравнение динамики примет следующий вид:
mx = mg − κ( |
l + x) . |
(2.1.2) |
|
Учтя условие (2.1.1), получим, что |
|
|
|
mx = −κx . |
(2.1.3) |
||
Введя обозначение |
κ |
|
|
2 |
|
|
|
ω = |
|
, |
(2.1.4) |
|
|||
0 |
m |
|
|
|
|
|
|
преобразуем уравнение (2.1.3) следующим образом: |
|
||
x +ω2 x = 0 . |
(2.1.5) |
||
0 |
|
|
|
Это дифференциальное уравнение называют уравнением гармо-
нического осциллятора.
Гармоническими называют колебания, в которых смещение из положения равновесия изменяется со временем t по закону:
x = a cos(ω0t +α) , |
(2.1.6) |
где a – амплитуда; (ω0t +α) – фаза; α – начальная фаза; ω0 – циклическая (круговая) частота колебаний. Эта частота связана с периодом T и линейной частотой ν как
ω = 2π |
= 2πν , |
(2.1.7) |
|
0 |
T |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
T = 2π |
m . |
(2.1.8) |
|
κ |
|
Решение дифференциального уравнения (2.1.5) содержит две произвольные постоянные: а и α. Для каждого конкретного колебания они определяются начальными условиями – смещением x0 и
скоростью x0 в фиксированный момент времени t0.
Рассмотрим систему из двух пружин. Тогда возможны два типа их соединения: параллельный и последовательный. Такую систему можно рассматривать как новую пружину, обладающую своим коэффициентом жесткости. Найдем связь эквивалентного коэффициента жесткости пружины с жесткостями пружин κ1 и κ2 .
При параллельном соединении силы отдельно взятых пружин в сумме равны общей силе:
F = F1 + F2 = −(κ1 + κ2 )s , |
|
κэкв = κ1 + κ2 . |
(2.1.9) |
Таким образом, общая жесткость пружины κэкв равна сумме жесткостей отдельно взятых пружин κ1 и κ2 .
При последовательном соединении пружин растяжения s1 и s2 в сумме равны общему растяжению s. Действующая сила F для обеих пружин одинакова:
|
|
F = −κ s |
|
s = − |
|
F |
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
κ1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
F = −κ |
s |
2 |
|
s |
|
= − |
F |
, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
κ2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
при s = s1 + s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s = − |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
F . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
κ1 |
|
κ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Следовательно, |
F = − |
|
1 |
|
|
|
s |
|
, тогда κ |
экв |
= |
|
|
1 |
. Или |
||||||||||||||
κ−1 |
+ κ−1 |
|
|
|
κ−1 |
+ κ−1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
1 |
+ |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
κ |
|
|
|
|
κ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
экв |
|
|
|
|
|
κ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7
Таким образом, при последовательном соединении обратное значение общей жесткости пружины равно сумме обратных значений жесткостей отдельных пружин:
κ |
экв |
= |
κ1κ2 |
|
. |
(2.1.10) |
|
κ + κ |
2 |
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Схема установки для изучения гармонических колебаний спиральных пружин представлена на рис. 2.1.2. Установка состоит из стержня 3 на штативе, на котором укреплен держатель 7 для пружины 6 (на рисунке изображена большая пружина) с нитью, к которой подвешиваются грузы 4. Нить проходит через блок, вращение которого регистрируется с помощью светового барьера 5. На блоке нанесены прорези, прохождение которых через световой луч регистрируется фотоэлементом. Световой барьер подключен к универсальной установке «Кобра 3» 2, которая соединена с ПК с помощью шины USB. Крепления светового барьера позволяют регулировать его положение по высоте. В комплекте также имеется малая пружина 1.
Рис. 2.1.2
8
Внимание! Строго воспрещается запускать на ПК программное обеспечение, кроме рекомендованного в описании работы, и подключать без разрешения преподавателя носители информации к ПК.
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1.Необходимо соблюдать все правила техники безопасности, с которыми студент ознакомлен на вводной беседе.
2.Не вынимайте провода, не прикасайтесь к шине заземления.
3.Прежде чем включить питание схемы, необходимо проверить правильность ее монтажа, правильность начальных положений различных регулировок, а также подготовиться к проведению измерений. Не оставлять установку включенной без присмотра.
ЗАДАНИЯ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Задание 1. Определение коэффициента жесткости различных пружин
1.Подвесьте большую пружину и закрепите на ее конце нить. С другого конца нити расположите держатель для грузов. Пропустите нить через блок на световом барьере и отрегулируйте установку так, чтобы нить проходила по желобку блока, а подвешенный к ней держатель для гирь (с дополнительными гирями) висел свободно.
На держатель для грузов подвесьте гири.
Внимание! Нить свисает не вертикально, а под углом, это позволяет проходить нити в блоке и не соскальзывать.
2.Измерьте период колебаний T исследуемых пружин от массы
нагрузки. Для этого запустите программу measure 
, которая на-
ходится на рабочем столе. Выберите в меню «Прибор» пункт «Кобра 3 Перемещение/Вращение», после чего появится экран настроек (рис. 2.1.3).
В появившемся окне настроек выберите опции, как показано на рисунке. Нажмите кнопку «Далее».
На экране появится панель для измерений (рис. 2.1.4).
9
Рис. 2.1.3
Рис. 2.1.4
Осторожно потяните нить, взявшись выше ролика и отпустите ее. Выждав 2–3 периода, запустите измерения. Для этого нажмите кнопку «Начать измерение».
Через несколько секунд измерение остановится и на экране появится изображение в виде графика.
10