Материал: Пересечение геометрических тел плоскостью. Развертки наклонных поверхностей (110

Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЬЮ.

РАЗВЕРТКИ НАКЛОННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Методические указания к расчетно-графической работе

Составители Н. Ю. Ермилова, О. В. Богдалова

© Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный

архитектурно-строительный университет», 2012

Волгоград

ВолгГАСУ

2012

Целью работы является получение студентами необходимых знаний, умений и навыков геометрического формирования, построения и взаимного пересечения моделей плоскости и пространства; развитие пространственного представления, конструктивного мышления, способностей к анализу геометрических форм и их отношений.

Объем и содержание выполняемой работы определяются программой учебной дисциплины для конкретной специальности.

Необходимо:

1)построитьлиниюпересечениягеометрическоготелазаданнойплоскостью;

2)определить натуральную величину сечения геометрического тела плоскостью;

3)построить развертку геометрической поверхности с нанесением на ней линии сечения.

Чертеж выполняют на листе ватмана формата А4 (210×297 мм) или А3 (297×420 мм) в карандаше. Рамка и основная надпись должны соответствовать [2]. Толщину линий применяют по [1]. Надписи на чертеже выполняют в соответствии с [3] шрифтом № 5 в сочетании строчных и прописных букв. Наименование чертежа — «Сечение геометрических тел плоскостью», шрифт № 7. Варианты даны в сборнике заданий по курсу «Начертательная геометрия» [4].

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Сечением называется плоская фигура, полученная путем пересечения геометрического тела секущей плоскостью и содержащая точки, принадлежащие поверхности тела и плоскости. Сечение ограничивается замкнутой ломаной линией, если плоскость пересекает гранную поверхность, и замкнутой кривой линией, если плоскость пересекает кривую поверхность.

Построение линии сечения в общем случае сводится к определению точек пересечения ребер многогранника или образующих кривой поверхности с секущей плоскостью. Следовательно, построение линии сечения сводится к множественной задаче определения точек пересечения прямой с плоскостью.

Натуральную величину сечения геометрической поверхности плоскостью определяют любым известным способом преобразования чертежа, например, способом совмещения секущей плоскости с плоскостью проекций, способом вращения, способом замены плоскостей проекций и т. д.

Кроме определения натуральной величины сечения геометрического тела заданной плоскостью, часто требуется построить развертку геометрической поверхности с нанесением на ней линии сечения.

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности (или ее отсека) с плоскостью путем изгибания. Свойства разверток поверхностей: сохранение длин линий, углов между линиями и площади, ограниченной замкнутым контуром.

При построении развертки любой геометрической фигуры необходимо вначале определить натуральные величины оснований и ребер или образую-

4

щих геометрического тела, используя способы преобразования плоскостей проекций.

Построение разверток наклонных геометрических тел осуществляется по аналогии с построением разверток прямых геометрических фигур, например, методом раскатки геометрической поверхности, методом триангуляции, методом нормального сечения и т. д.

Алгоритм построения линии пересечения геометрического тела плоскостью общего положения сводится к двум этапам. На первом этапе плоскость из общего положения преобразуют в частное (проецирующее) положение. На втором — определяют точки пересечения ребер или образующих поверхности с секущей плоскостью.

СЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ ПЛОСКОСТЯМИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СЕЧЕНИЯ. РАЗВЕРТКИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Многогранники относят к гранным поверхностям. Эти поверхности являются закономерными (т.е.образующая такой поверхности перемещается по определенному закону), линейчатыми и развертываемыми.

Многогранником называют геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Плоские многоугольники — грани, а линии пересечения граней — ребра. Концы ребер многогранника называются вершинами. Образующей гранной поверхности является прямая, направляющей — ломаная линия.

Сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник, вершины которого принадлежат ребрам, а стороны — граням многогранника, поэтому построение линии пересечения многогранника плоскостью сводится к многократному решению задачи на определение точек пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью. В зависимости от вида гранной поверхности и положения секущей плоскости сечение может принимать различные геометрические фигуры.

Рассмотрим некоторые примеры.

З а д а ч а 1

Дано: прямая четырехгранная призма и плоскость общего положения

α ( ABC) (рис. 1).

Выполнить: 1) построить линию пересечения призмы плоскостью; 2) определить натуральную величину сечения призмы плоскостью; 3) построить развертку прямой призмы с нанесением на ней линии сечения.

Порядок выполнения:

1. Способом замены плоскостей проекций преобразуют плоскость α ( ABC) из общего положения в частное — проецирующее, где αП4 (A4B4C4) — проеци-

рующий след плоскости. Для этого в плоскости α ( ABC) выстраивают гори-

5