Материал: Переходные процессы и спектры. Матвеев Б.В

образованный элементами С1, Сэкв., e(t).

Таким образом, из предполагаемой сложности цепи (рис. 4.9) ν=3, после преобразований остаётся сложность цепи ν = 1, которая получается после учёта объединения элементов С2 и С3 и учёта одного ёмкостного контура С1, Сэкв., e(t).

Ответ: ν = 1.

4.1.12. Определить порядок цепи, представленной на рис. 4.11.

Рис. 4.11

Порядок сложности цепи, составленной только из идеализированных пассивных элементов и независимых источников тока или напряжения, определяется формулой

ν PLC nek quc ,

где PLC общее число реактивных элементов, nek – число независимых ёмкостных контуров, quc – число независимых индуктивных узлов (сечений).

Индуктивный узел – узел, к которому подключены ветви, в каждой из которых есть либо только индуктивные элементы, либо только индуктивности с другими элементами R и С, или источники тока.

Предварительно схема должна быть преобразована, по возможности, на предмет сокращения числа элементов L и С.

Так на рис. 4.11 индуктивности L4 и L5 могут быть объединены в один индуктивный элемент, используя теорему об

95

эквивалентном источнике напряжения (рис. 4.12).

Рис. 4.12

Таким образом, из общего числа реактивных элементов схемы PLC 7 необходимо вычесть один ёмкостной контур (С1, С2, С3) и один индуктивный узел 1. Порядок сложности цепи определяется как

ν PLC nek quc 7 1 1 5.

Ответ: ν = 5.

4.1.13. Составить дифференциальное уравнение относительно напряжения uc(t) для схемы рис. 4.13.

Рис. 4.13

Решение

Для составления дифференциального уравнения воспользуемся компонентным уравнением для ёмкости С, т.е.

96

ic C duc dt

и вторым законом Кирхгоффа для схемы по рис. 4.13

e(t) uR (t) uC (t).

Определяя, uR (t) ic R, находим что

Таким образом, дифференциальное уравнение будет иметь вид

RС duc uc e(t). dt

4.1.14. Найти реакцию цепи, состоящей из R и L, когда на вход электрической схемы действует скачок напряжения вели-

чиной Um (рис. 4.14).

Рис. 4.14

Решение

Используя компонентное уравнение для индуктивности

дифференциальное уравнение цепи, т.е.

97

Для решения дифференциального уравнения

L di iR uВХ dt

составляем характеристическое уравнение и определяем его корни

i(t) iсв iпр.

Принуждённый ток определяется, когда переходной процесс закончился и t → ∞, т.е.

iпр uВХ .

R

Свободный ток iсв определяется из решения однородного дифференциального уравнения

L di iR 0. dt

Решение этого уравнения ищется в виде

где А – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий, которые для данной задачи iL(0) = iL(0-) = 0. Подставляя начальные условия в выражение для тока i(t), получим, что

С учётом значения величины А ток в цепи будет определяться выражением

98

Принимая во внимание выражение для iL(t), реакцию цепи (напряжение на выходе) определим как

4.1.15. Для цепи изображённой на рис. 4.15, составить дифференциальное уравнение для определения тока в индуктивности L, используя метод контурных токов и теорему об эквивалентном источнике.

Решение

Составим систему уравнений, используя метод контурных токов. В соответствии с выбранными направлениями контурных токов уравнения будут иметь вид

2Ri1 i2R e(t).i2 R uL i1R 0.

Рис. 4.15

99