Материал: Переходные процессы и спектры. Матвеев Б.В

Определяя i1 из первого уравнения и подставляя его во

второе, с учётом, что uL L di2 , получим что dt

i1 e(t) i2R ,

2R

i2R Ldi2 e(t) i2R R 0, dt 2R

L di2 i2R e(t) . dt 2 2

Таким образом, дифференциальное уравнение относительно тока i2 будет иметь вид

2L di2 i2R e(t). dt

Теперь составим дифференциальное уравнение, применив теорему об эквивалентном источнике напряжения.

Преобразуем схему рис. 4.15 последовательно к виду рис. 4.16 и затем рис. 4.17.

Рис. 4.16

100

Рис. 4.17

Используя второй закон Кирхгофа для схемы рис. 4.17

циальное уравнение, аналогичное предыдущему случаю

2L di2 i2R e(t). dt

В том случае, если в схеме (рис. 4.15) вместо L подключена емкость С, то система уравнений будет иметь вид

2Ri1 i2R e(t).i2 R uс i1R 0.

Осуществляя аналогичные преобразования, получаем:

Далее составляем дифференциальное уравнение

RCduc 2uc e(t). dt

101

4.2. Анализ переходных процессов в электрических цепях второго порядка сложности классическим методом

Контрольные вопросы

1.Какие электрические цепи называются цепями второго порядка сложности?

2.Приведите наиболее распространённый пример цепи второго порядка сложности.

3.Каким дифференциальным уравнением описываются свободные процессы в цепях второго порядка?

4.По какому временному закону изменяются токи и напряжения при свободных процессах в цепях первого порядка?

5.Какие виды свободных процессов имеют место в цепях второго порядка?

6.При каких условиях в цепи второго порядка наступают незатухающие колебания?

7.Какие основные характеристики незатухающих колебаний вам известны?

8.Какие существуют характеристики затухания свободных колебаний в реальных цепях второго порядка в колебательном режиме?

9.Как определить логарифмический декремент затуха-

ния?

10. При каких условиях наступает критический и апериодический процессы?

Решить задачи

4.2.1. Последовательный колебательный контур (рис. 4.18) с нулевыми начальными условиями подключают в момент t = 0 к источнику постоянной ЭДС Е. Составить дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи после коммутации.

102

Рис. 4.18

4.2.2.Принимая во внимание условия задачи 4.2.1, определить начальные значения тока в цепи и его первой производной по времени.

4.2.3.В соответствии с задачей 4.2.1 для дифференциального уравнения цепи составить характеристическое уравнение

иопределить его корни.

4.2.4.Для случая вещественных различных корней найти зависимость i(t) для цепи рис. 4.18

4.2.5.Для случая комплексно-сопряжённых корней найти зависимость i(t) для цепи рис. 4.18

4.2.6.Определить характер свободных процессов в последовательной R L C –цепи, составленной из элементов со следующими параметрами: R = 15 Ом; L = 20 мГн; С = 500 пФ. Внутреннее сопротивление источника сигналаRi = 5 Ом.

4.2.7.Определить частоту свободных колебаний ωсв и логарифмический декремент затухания последовательного контура, рассмотренного в задаче 4.2.6.

4.2.8.По графику тока свободных колебаний, возникающих в цепи рис. 4.18, предложите способ определения добротности контура.

4.2.9.Используя условия задачи 4.2.1, определить i(t),т.е. переходной процесс в цепи RLC, примененяя процедуру

«odesolve» пакета Mathcad, считая R=1000 Ом, L=0,04 Гн, C=6·10-9 Ф, E= 10 В.

103

4.2.10. Используя программу Workbench, определить вид переходного процесса i(t) (напряжение на R) в цепи RLC из задачи 4.2.9 при различных величинах R, когда на вход подается прямоугольный перепад напряжения от функционального генератора при частоте следования импульсов f=1 Гц (меандр), начало переходного процесса t=0, конец t=0,001 с.

Примеры решения задач

4.2.11. Для схемы рис. 4.19 составить дифференциальное уравнение относительно напряжения u и тока iL.

Рис. 4.19

Решение

На основании законов Кирхгофа запишем, что iR = iL+ iC , e = uR+u. Используя далее компонентные уравнения

После дифференцирования этого уравнения имеем окончательно, что

104