Материал: Переходные процессы и спектры. Матвеев Б.В

а) в первом интервале времени от 0 до t1 (не включая,

скачка F1 )

t

б) во втором интервале времени от t1 до t2 (не вклю-

чая, скачка F2 )

t1

здесь слагаемое F1h t t1 обусловлено положительным скач-

ком воздействия в момент t1,

где слагаемое F2h t t2 обусловлено отрицательным скач-

ком воздействия в момент t2 .

Входящее в формулы (1.53)-(1.55) выражение h t

есть h t , в котором t заменено на t .

Пример 1.4. Найти напряжение на выходе цепи (рис.1.27а), если напряжение на ее входных зажимах изменяется во времени по закону

50

Rt

а переходная характеристика цепи h t e L .

График входного воздействия u1 t на электрическую цепь показан на рис. 1.27б.

Рис. 1.27. RL-цепь (а) и входное воздействие (б)

Решение. В интервале времени 0 t t1 воспользуемся формулой интеграла Дюамеля (1.53)

t

f t f1 0 h t f1 h t d .

0

Подставляя соответствующие значения, получаем, что

t

u2 t u1 0 h t du1 h t d d

51

Возможно также определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике.

Выражение для этого случая можно получить из формулы (1.52), используя правило интегрирования по частям и учитывая соотношение между переходной и импульсной характеристиками цепи (1.43), т.е.

52

t

Выражение (1.56) можно использовать для определения реакции цепи и в том случае, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочно-непрерывной функцией. При этом интервал интегрирования разбивается на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности входного сигнала u t .

Так, если на цепь воздействует колебание сложной формы f t (рис. 1.26), то в случае применения импульсной характеристики, отклик цепи uвых t необходимо определять с учетом различных интервалов времени:

а) в первом интервале времени 0 t t1

t

uвых t f1 t h 0 f1 g t d ;

0

б) во втором интервале времени t1 t t2

uвых t f1 g t d f2 t h 0 f2 g t d ;

в) в третьем интервале времени t2 t

uвых t f1 g t d f2 g t d f3 t h 0

0 t1

t

f3 g t d .

t2

53

2. ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ ДЛЯ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Для расчета переходных процессов в линейных электрических цепях достаточно успешно может быть использован программный продукт компьютерной математики Mathcad

последних версий: Mathcad 8/2000, Mathcad 2001 [3, 4].

Применение пакета Mathcad позволяет, используя стандартные программы, получить численное решение дифференциального уравнения цепи с определением переходного процесса и построения его графика.

Здесь имеются в виду так называемые обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Это уравнения, в которые входят производные только по одной переменной.

Mathcad, к сожалению, не позволяет непосредственно находить аналитические решения таких дифференциальных уравнений, однако реально упрощает выполнение различных вычислительных этапов при поиске указанных решений традиционными методами .

Переходные процессы, отражаемые ОДУ, обычно описывают изменение анализируемой характеристики с течением времени, а начальные условия должны определяться в момент времени t 0.

Заданные таким образом дифференциальные уравнения называются задачами Коши [2].

Методы численного решения ОДУ в форме задачи Коши разработаны весьма досконально. Самыми популярными из них заслуженно являются алгоритмы Рунге-Кутта [3], успешно используемые для решения подавляющего большинства дифференциальных уравнений.

Решение одного линейного дифференциального уравнения в Mathcad может быть реализовано в двух формах: в виде вычислительного блока или в виде встроенных функций. Первая форма предпочтительнее с точки зрения наглядности представления решения и технической простоты.

54