Материал: Переходные процессы и спектры. Матвеев Б.В
Таким образом, импульс бесконечно малой длительности и бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1(1.40) называется единичным импульсом. При t 0 функция Дирака обозначается как t .
С помощью - функции можно выделять значения функции f t в произвольные моменты времени t0 . Эту осо-
бенность - функции обычно называют фильтрующим свойством. Так при умножении произвольной ограниченной функции времени f t на t t0 получаем
f t t t |
|
0 |
при t |
t0 |
0 |
|
0 приt |
t0, |
|
|
f t0 |
|||
следовательно |
|
|
|
|
f t t t0 f t0 t t0 , |
|
|||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f t t t0 dt |
f t0 . |
(1.41) |
||
|
|
|
|
|
Выражение (1.41) определяет так называемое фильтрующее свойство - импульса.
Для определения реакции линейных электрических цепей на внешнее воздействие в виде единичного скачка или единичного импульса операторным методом необходимо
знать их изображения по Лапласу. |
|
|
|
|||
При t0 0 |
операторные |
изображения |
единичных |
|||
функций, как известно из математики, имеют простой вид: |
||||||
t : |
|
1 |
; |
t : 1. |
(1.42) |
|
|
||||||
|
|
p |
|
|
|
|
Для них также справедливо известное соотношение |
||||||
|
|
|
t |
d t |
. |
(1.43) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dt |
|
|
45
1.5.2.Переходная и импульсная характеристики электрической цепи
Для определения свойств электрической цепи часто используют понятия переходной и импульсной характеристик. При этом цепь не должна содержать независимых источников энергии и иметь нулевые начальные условия.
Отношение реакции электрической цепи на ступенчатое воздействие к величине ступеньки при нулевых начальных условиях называют переходной характеристикой цепи h t .
Численно переходная характеристика равна реакции цепи на единичный сигнал t при нулевых начальных условиях.
Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.
Переходная характеристика h t напрямую связана с
операторным коэффициентом передачи цепи K p |
U2 |
p |
, |
|
U1 |
p |
|||
|
|
где U1 p - входное воздействие, а U2 p - отклик (реакция)
на выходе цепи от внешнего воздействия U1 p . В виду того,
что U1 p 1/ p, а |
h t : |
U2 p и |
U2 p U1 p K p , то |
||
окончательно получаем |
|
K p |
|
|
|
|
h t : |
. |
(1.44) |
||
|
|
||||
|
|
|
p |
|
|
Импульсной характеристикой g t линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи (отклик на выходе) на воздействие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при
46
нулевых начальных условиях. Численно импульсная характеристика цепи равна ее реакции на воздействие единичного импульса при нулевых начальных условиях. Размерность им-
пульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время. Учитывая соотношение (1.43), аналогично можно записать выражение, учитывающее взаимосвязь между переходной и импульсной характеристиками цепи, т.е.
g t |
dh t |
. |
(1.45) |
|
|||
|
dt |
|
|
Операторное изображение импульсной характеристики |
|||
определяется выражением |
K p , |
|
|
g t : |
|
||
что следует из (1.44) и (1.45). |
|
|
|
1.5.3. Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной и импульсной характеристикам. Интеграл Дюамеля
Будем считать, что внешнее воздействие на цепь u t можно представить в виде линейной комбинации однотипных элементарных составляющих uk t , т.е.
uвх t uk t ,
k
где uk t представляют собой прямоугольные неединичные скачки величиной u, смещенные относительно друг друга на величину , как это показано на рис. 1.25.
Составляющая отклика цепи от скачка U0 |
будет равна |
|
u0 |
U0 h t , |
(1.46) |
где h t реакция цепи на |
единичный скачок t |
при нулевых |
начальных условиях, т.е. это переходная характеристика цепи.
47
u (t) |
|
|
|
Ak |
|
|
α)·∆τ |
∆u |
Uo |
τ |
t -τ |
0 |
|
t |
|
t |
|
Рис. 1.25. Представление произвольного внешнего |
||
|
воздействия в виде суммы неединичных скачков |
|
Составляющая отклика цепи от элементарного скачка напряжения, u, включаемого в момент времени , равна
|
u u h t . |
(1.47) |
|
Скачок напряжения u может быть выражен исходя из |
|
построений на рис. 1.25, т.е. |
|
|
|
|
(1.48) |
|
u tg u , |
|
|
- производная от функции u t в точке АК |
с коорди- |
где u |
||
натой . |
u по |
|
|
С учетом этого составляющая напряжения |
|
(1.47) выразится как |
|
|
|
|
(1.49) |
|
u u h t u h t . |
|
Суммируя составляющие напряжений откликов от всех элементарных скачков, получим итоговый отклик на выходе цепи, т.е.
uвых t u0 u . |
(1.50) |
k |
|
Раскрывая (1.50) через (1.46) и (1.49) получаем, что |
|
|
(1.51) |
uвых t U0 h t u h t . |
|
k
48
Переходя в (1.51) к пределу при 0, получаем замену суммирования интегрированием, т.е.
t
uвых t U |
|
h t d . |
(1.52) |
0 h t u |
|||
|
0 |
|
|
Выражение (1.52) известно под названием интеграла Дюамеля.
Когда под интегралом в (1.52) функция зависит только от t, то ее можно вынести, так как при интегрировании приращение происходит по .
Если функция входного воздействия описывается различными выражениями на разных интервалах времени, кроме того, имеет или не имеет скачки, то интервал интегрирования разбивается на отдельные участки, а реакция цепи, рассчитываемая интегралом Дюамеля, записывается для отдельных интервалов времени и стыкуется.
Например, в случае входного воздействия на цепь сигнала, изображенного на рис. 1.26, необходимо поступить следующим образом.
f (t)
|
|
|
|
|
f2(t) |
|
|
|
|
F1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
|
|||
f1(0) |
|
t2 |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
t1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
f3(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.26. Входное воздействие сложной формы
В соответствии с рис.1.26 следует рассмотреть отклик цепи u t в различные интервалы времени:
49