Материал: Переходные процессы и спектры. Матвеев Б.В

Рис. 2.4. Переходной процесс при R 2

2.2. Решение дифференциальных уравнений операторным методом

Если дифференциальное уравнение, которое необходимо решить, имеет постоянные коэффициенты, то для этих целей можно использовать преобразование Лапласа. Используя его свойства, переводят дифференциальное уравнение в соответствующее алгебраическое, аналитически решив которое и применив к нему операцию обратного преобразования Лапласа, можно получить решение дифференциального уравнения в общем виде.

Возьмем в качестве примера для решения дифференциальное уравнение (1.11), описывающее процессы в последовательном колебательном контуре

Приступая к решению уравнения, получим, прежде всего, его изображение с помощью прямого преобразования Лапласа. Для этого используем специальный оператор

«laplace» (Лапласа) панели Symbolic (символьные): ● laplace, ● →.

60

В левом маркере этого оператора должно быть определено преобразуемое выражение без знака равенства, в правом

– переменная, по которой осуществляется преобразование:

Далее необходимо упростить это громоздкое выражение. Для этого переменную laplace i t ,t,s заменим на Z . Начальное условие для первой производной

t 0

d i t dt

запишем в виде i 0.

В результате получим выражение

После проведенных замен уравнение следует разрешить относительно переменной Z, т.е. использовать специальный оператор символьного решения уравнений solve пане-

ли Symbolic (Символьные) и принять, что i0 0, а i 0 E .

L

При таких начальных условиях после применения оператора solve получаем, что

61

Теперь, чтобы получить решение дифференциального уравнения, к полученному решению-изображению нужно применить операцию обратного преобразования Лапласа. Сделать это можно при помощи оператора invlaplace панели

Symbolic (Символьные), т. е.

При расчете обратного преобразования Лапласа желательно одновременно провести и упрощение получаемого громоздкого выражения, что можно сделать, задействовав одновременно с оператором invlaplace и специальный оператор

Simplify (Упростить).

Найденная функция i t после применения обратного преобразования Лапласа будет иметь следующий вид

1

4 L R2 C 2

Такое решение дифференциального уравнения является пусть и записанным не в самой удобной форме, но полностью соответствует поставленной задаче и дает такие же результаты, как и при применении процедуры Given odesolve, как это было сделано в пп.1.5.1 для решения дифференциального уравнения второго порядка.

После соответствующего ввода численных значений будем иметь:

62

2.3. Применение процедур численного дифференцирования и интегрирования к вычислениям методом интеграла Дюамеля

Вычисление интеграла Дюамеля (1.53) предусматривает применение процедур численного дифференцирования и интегрирования. При необходимости можно предварительно осуществить процедуру символьного дифференцирования, которое может быть использовано для подавляющего числа функций, в отличие от того же символьного интегрирования, имеющего весьма ограниченное применение.

Приступая к вычислению производной какой-либо функции, следует найти соответствующий оператор. Оператор производной расположен на панели Calculus (Вычисления) и, помимо того вводится сочетанием клавиш [Shift] + [/], т.е.

d . d

Если в результате дифференцирования должна быть получена функция производной, следует обратиться к возможностям символьного вычисления. В качестве оператора вывода следует использовать оператор символьного вывода

(«→» – Evaluate Symbolically).

При символьном дифференцировании можно оперировать функциями нескольких переменных и функциями с параметрами. Оператор дифференцирования может сочетаться с любым вычислительным оператором.

Пример 2.7. Символьное дифференцирование

64