Материал: Переходные процессы и спектры. Матвеев Б.В

Пример 2.8. Подсчет численного значения при символьном дифференцировании

x:

Аналогично дифференцированию, интегрирование может быть как численным, так и символьным. Роль численного алгоритма выше в случае интегрирования, чем при вычислении производной. Это связано с тем, что многие функции не имеют первообразной (производную можно вычислить практически для любой функции).

Для ввода определенного интеграла следует использовать оператор панели Calculus (Вычисления) или через клави-

ши [Shift] + [7]:

d

Оператор содержит четыре маркера, которые заполняются в соответствии с принятой в математике формой. Предварительно необходимо присвоить всем параметрам и переменным конкретные значения. Пределы интегрирования должны быть числами. В качестве оператора вывода следует использовать оператор численного вывода (=).

В систему Mathcad встроено несколько численных методов интегрирования. Необходимость этого связана с тем, что алгоритмы численного интегрирования не столь универсальны, как алгоритм дифференцирования. Каждый из них подходит для определенной группы функций. Так, например, такие классические методы, как метод трапеций, средних прямоугольников или Симпсона подходят лишь для гладких непрерывных функций и для небольшого интервала интегрирования. Чтобы подсчитать интеграл с бесконечным пределом или интеграл от функции, имеющей точку разрыва второго рода на границе промежутка, нужно использовать другие методы.

65

Чтобы произвести смену численного метода необходимо осуществить правый щелчок по оператору интегрирования. Откроется его контекстное меню, содержащее список из пяти вариантов возможных алгоритмов интегрирования.

Лучше всего, если по умолчанию отмечен первый вариант Autoselect (Автоматический выбор). Метод интегрирования выбирается при этом автоматически. Однако, в некоторых ситуациях (прежде всего при наличии точек разрыва) система может не справиться с расчетами. В этом случае следует попробовать сменить алгоритм подсчета, сделав выбор из следующих четырех методов:

1.Romberg. Метод, применяемый для вычисления интегралов от функций, не имеющих особенностей.

2.Adaptive. Метод, предназначенный для вычисления интеграловотфункций, быстро изменяющихся напромежутке.

3.Infinite Limit (Бесконечный предел). Предназначен для расчета интегралов с бесконечными пределами интегрирования. Самостоятельно выбирать данный метод не придется, поскольку система автоматически переключается на него при введении оператора интегрирования символа бесконечности.

4.Singular Endpoint (Неопределенность в точке предела интегрирования). Данный метод предназначен для вычисления интегралов от функций, не существующих в одной или в обеих точках пределов интегрирования (так называемые несобственные интегралы второго рода).

Точность результатов интегрирования можно регулировать заданием оператора TOL перед интегралом.

По умолчанию TOL:= 10-3. Можно задавать любую величину до 10-13.

Так, например, точноеаналитическоерешениеинтеграла

e x sin x dx 1 0.5, 2

0

а при обычной точности (TOL = 10-3)

66

e x sin x dx 0,499999999986754,

0

но при TOL:=10-13 имеем, что

e x sin x dx 0.5.

0

Приведем теперь пример использования численных методов при определении отклика цепи на входное воздействие с помощью интеграла Дюамеля.

Воспользуемся условиями задачи из примера 1.4, когда на вход RL цепи (рис. 1.27а) с переходной характеристикой

Rt

h t e L воздействует напряжение

0 приt 0

at

u1 t U e при0 t t1

0 приt t1.

Пример 2.9. Зададимся конкретными значениями вели-

Вычисляем результирующий отклик с учетом двух интервалов и строим график (рис. 2.6), т.е.

67

Рис. 2.6. График переходного процесса

Вычисление отклика по формулам, полученным в примере 1.4, осуществляется в виде

L

и график отклика u3 t (рис.2.7) совпадает с откликом (рис. 2.6), рассчитанным численным методом.

68

Рис. 2.7. График при расчете по формулам

Представление входного воздействия, используя Mathcad при конкретных значениях a 100, можно осуществить в виде графика (рис. 2.8), следующим образом

u8(t) 10

0

t

Рис. 2.8. График входного воздействия

Листинг 2.1 расчетов с графиком h t (рис. 2.9) для примера 1.4 будет иметь следующий вид.

69