Материал: Парамонов А. И. Математические модели в сетях связи. Часть 1

кривых на одном графике снижает его наглядность, так как бри большом количестве объектов человеку (читателю) сложно произвести их сравнение.

Приведенные выше требования не являются жесткими и не охватывают все возможные случаи. Не всегда можно им строго следовать. Однако, они могут полезны во многих практических случаях.

Система координат. В большинстве тех случаев, которые связаны с задачами имитационного моделирования, рассмотренные в данном пособии, для графиков используется Декартова система координат. В большинстве случаев достаточно двух измерений (плоская кривая), но, если это нужно можно использовать 3 измерения (3D поверхность), иногда 4 (раскрашенная 3D поверхность). Большее количество измерений использовать весьма затруднительно. Увеличение количества измерений существенно снижает точность представления. Построить наглядный 3-х мерный график довольно сложно. Поэтому, рекомендуется использовать более чем2-х мерные графики только в тех случаях, когда это действительно необходимо.

Для построения графиков можно использовать различные приложения

(MS Office Excel, Libre Office, Open Office, Mathcad, Matlab и др.), в том числе сами системы имитационного моделирования, как правило, имеют такие возможности.

Существует нормативный документ [33], регламентирующий правила построения диаграмм в ЕСКД. Как правило, существующие программные средства позволяют достаточно легко придерживаться этих правил.

3.6.Гистограммы

Гистограмма – это геометрическое изображение эмпирической функции плотности вероятности случайной величины, построенное по выборке, полученной в результате эксперимента (измерения в реальной системе или имитационной модели).

Правила построения гистограммы следующие.

Пусть в результате эксперимента получена выборка X x1, x2, , xn .

1. Диапазон значений, которые принимает величина X, разбивается на несколько k интервалов (карманов). Чаще всего размеры этих интерваловx выбираются равными, хотя в общем случае, они могут быть различны. Например, x max X min X / k .

2.Интервалы x откладываются по горизонтальной оси.

3.Над каждым интервалом строится прямоугольник, площадь которого пропорциональна числу элементов выборки, попадающих в данный интервал значений. Если все интервалы одинаковы, то высота прямоугольника пропорциональна числу элементов выборки, попадающих

вданный интервал значений.

61

Системы Средства имитационного моделирования, как правило, имеют средства построения гистограмм. Если требуется построить гистограмму другими средствами, то для этого можно использовать различные средства, такие как Matlab, Mathcad, Statistica, Excel и др. Далее приведем пример построения гистограммы в MS Excel.

Приведем пример гистограммы для выборки из n=1000 случайных чисел, подчиняющихся нормальному закону распределения со средним значением 10 и стандартным отклонением 5.

Пример построения гистограммы приведен на рис. 36.

Рис. 36. Пример построения гистограммы в MS Excel

На листе приведены исходные данные (столбец «B»), они занимают диапазон ячеек B2:B1001. В столбце «E» получены максимальное и минимальное значения данных, задано количество интервалов k=20, и вычислена ширина интервала 1,45. Для простоты ширина интервала выбрана равной 1,5. В столбцах «H» и «I» приведены нижние и верхние границы интервалов. В столбце «J» подсчитывается частота попадания величины в соответствующий интервал (количество попаданий). Для подсчета количества попаданий в интервал используется функция «СЧЁТЕСЛИМН» MS Excel.

Не существует общего строгого правила выбора количества интервалов k (существуют различные подходы, например [20]), поэтому оно выбирается произвольным образом, как правило, в пределах от 10 до 40. Поскольку гистограмма строится для визуального представления, то количество интервалов должно, в первую очередь, обеспечивать ее наглядность. При выборе k следует учитывать диапазон значений случайной величины, требуемую (желаемую) точность представления

62

значений в границах этого диапазона, количество исходных данных, количество данных, попадающих в каждый интервал. Если имеются интервалы с нулевым значением частоты, то имеет смысл либо увеличить ширину интервалов, либо выбрать интервалы различной ширины.

Следует отметить, что на практике редко удается, как в приведенном выше примере, достичь желаемого результата. Часто эмпирическое распределение имеет «длинный хвост», который мешает наглядному представлению данных.

3.7.Распределения случайных величин, критерии согласия

Построение гистограммы дает представление о форме плотности вероятности случайной величины. Однако, во многих задачах требуется не только продемонстрировать, но и описать полученное эмпирическое распределение. Для описания, если это возможно, используют один из известных законов распределения случайных величин. Задачей анализа в таком случае является проверка гипотезы о возможности описания эмпирического распределения теоретической (аналитической) моделью. Разумеется, первым из критериев выбора аналитической модели является внешнее сходство полученной гистограммы и аналитической модели. При выборе модели полезно руководствоваться следующими свойствами:

-вид случайной величины (дискретное или непрерывное распределение),

-диапазон изменения случайной величины (бесконечное или конечное распределение),

-только положительные значения или положительные, или отрицательные значения).

Например, количество пакетов, поступающих в узел связи за интервал времени является дискретной случайной величиной и для его описания следует выбирать дискретное распределение.

Время доставки пакета, если оно может принимать любые значения, может быть описано непрерывным распределением. Время может принимать только положительные значения, поэтому выбираемая модель также должна описывать положительные значения.

Для проверки возможности использования выбранной аналитической модели для описания эмпирического закона. Используют статистические методы называемые критериями согласия [20]. Наиболее часто, на практике, применяются критерии Пирсона (Хи-квадрат) и КолмогороваСмирнова.

Критерий согласия позволяет отвергнуть или не отвергнуть с заданной доверительной вероятностью гипотезу о том, что эмпирическое распределение может быть описано выбранной аналитической моделью.

63

Рассмотрим применение критерия Пирсона для полученного выше эмпирического распределение. В качестве гипотезы выберем нормальный закон распределения со средним значением 10 и стандартным отклонением 5.

В данном примере мы заранее знаем, какие параметры распределения нужно выбрать (среднее 10, стандартное отклонение 5). В практических случаях эти значения сначала нужно оценить по выборке.

Для применения критерия вычисляется статистика.

ХИ2.ОБР(0,95; 19). Это значение равно 30,14. Полученное согласно формуле (35) значение статистики 26,5<30,14. Следовательно, принятая нами гипотеза не отвергается. Применение критерия в MS Excel приведено на рис. 37.

Рис. 37. Применение критерия Пирсона

64