Материал: Парамонов А. И. Математические модели в сетях связи. Часть 1
параметр называется доверительным интервалом. При такой оценке задается доверительная вероятность, т. е. вероятность того интервал накрывает значение оцениваемого параметра. Ширина интервала определяет точность полученной оценки. Как правило, интервальные оценки используются для описания среднего значения и дисперсии.
Доверительный интервал для среднего значения может быть определен как:
|
|
x x , |
(28) |
где |
x |
– среднее значение, согласно формуле 3.1; |
|
t |
|
|
|
|
|||
n 1,1 |
n |
||
2 |
|||
|
|
где |
t |
n 1,1 |
|
– коэффициент Стьюдента |
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
доверительной вероятности (1 – ),– среднеквадратическое отклонение, n – количество наблюдений.
, |
(29) |
для (n – 1) степени свободы и
Если распределение исследуемой величины известно, то в формуле (29) следует использовать выражение для соответствующего закона распределения. Например, оценивается средняя величина вероятности в серии испытаний, которая может быть описана схемой Бернулли, т. е. оценивается вероятность p успеха (неуспеха). Успехом считается какоелибо событие, происходящее в результате испытания, если событие не происходит, то говорим о неуспехе. В этом случае случайная величина подчинена биномиальному распределению, для которого среднеквадратическое отклонение определяется как:
|
|
|
|
|
|
p |
p 1 p |
. |
(30) |
||
|
|||||
|
|
n |
|
||
Тогда интервальная оценка для среднего значения вероятности будет определяться.
|
|
|
|
|
. |
|
p p t |
|
|
p 1 p |
(31) |
||
|
|
|
||||
n,1 |
n |
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
При относительно большом количестве испытаний (более 100) коэффициент Стьюдента заменяют квантилем нормального распределения, тогда выражение (29) будет выглядеть как:
56
где
g |
|
|
1 |
||
2 |
||
|
g |
|
|
|
|
|||
1 |
n |
||
2 |
|||
|
|
– квантиль нормального
, |
(32) |
распределения для доверительной
вероятности (1 – ).
Точность получаемой интервальной оценки определяется шириной доверительного интервала. Как правило, полученные оценки характеризуют относительной точностью оценки, которая определяется как отношение ширины половины доверительного интервала к среднему значению, выраженное в процентах.
|
|
100 % |
|
x |
|||
|
|
.
(33)
Из приведенных выше выражений видно, что ширина доверительного интервала определяется среднеквадратическим отклонением (дисперсией) оцениваемой величины и количеством наблюдений. Увеличение количества наблюдений приводит к сужению доверительного интервала. Поэтому, при планировании эксперимента, при наличии требований к точности, оценивают необходимое количество измерений (объем выборки).
Если оценку нужно получить с заданной точностью (величиной относительной ошибки), то необходимый размер выборки можно оценить как:
|
|
|
n t |
|
|
|
n 1,1 |
|
|
2 |
|
|
|
x
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
.
(34)
Следует заметить, что в выражении (34) присутствуют сама средняя
величина |
|
и , которые требуется оценить по результатам измерений. |
Поэтому, |
в |
практических задачах сначала производят предварительную |
оценку средней величины и стандартного отклонения , по выборке произвольного размера, получают их ожидаемые значения, а затем выполняют расчет уточненного размера выборки, используя эти значения.
Если размер выборки достаточно большой (практически, как правило, более 100 значений), то коэффициент Стьюдента заменяют квантилем
нормального распределения |
g |
1 |
|
, величина которого не зависит от размера |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
выборки.
57
3.4.Правила записи численных значений результатов
Как правило, современные вычислительные средства позволяют производить вычисления с достаточно высокой точностью, т. е. количество знаков в числах определяется требованиями к точности и используемым программным обеспечением, которое обеспечивает требуемую точность для подавляющего большинства задач. В большинстве практических случаев приходится напротив ограничивать количество знаков в числах, представляющих результаты вычислений исходя из реальных требований к точности и точности получаемых оценок.
Правила записи и округления чисел определены в стандарте [32]. Далее приведена выдержка из этого стандарта, определяющая правила записи чисел.
Значащие цифры данного числа – это все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней записанной цифры справа. При этом нули,
следующие из множителя
10 |
n |
|
, не учитываются.
Примеры. 1. Число 12,0 имеет три значащие цифры; 2. Число 30 имеет две значащие цифры;
3.Число
4.Число
120 10 |
3 |
имеет три значащие цифры; |
|
0,514 10 имеет три значащие цифры;
5. Число 0,0056 имеет две значащие цифры.
Когда необходимо указать, что число является точным, после числа должно быть указано слово "точно" или же последняя значащая цифра печатается жирным шрифтом.
Пример. В печатном тексте:
1 = 3600000 Дж (точно), или = 3600000 Дж
Следует различать записи приближенных чисел по количеству значащих цифр.
Примеры:
1.Следует различать числа 2,4 и 2,40. Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых; истинное значение числа может быть например 2,43 и 2,38. Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли числа; истинное число может быть 2,403 и 2,398, но не 2,421 и не 2,382.
2.Запись 382 означает, что все цифры верны; если за последнюю цифру ручаться нельзя, то число должно быть записано.
3.Если в числе 4720 верны лишь две первые цифры, оно должно быть записано
47 102 или 4,7 103 .
Число, для которого указывается допускаемое отклонение, должно иметь последнюю значащую цифру того же разряда, как и последняя значащая цифра отклонения.
Примеры:
1.Правильно: 17,0 0,2. Неправильно: 17 0,2 или 17,00 0,2.
2.Правильно: 12,13 0,17.
58
Неправильно: 12,13 0,212, 1 0,17.
3. Правильно: 46,40 0,15.
Неправильно: 46,4 0,15 или 46,402 0,15.
Числовые значения величины и ее погрешности (отклонения) целесообразно записывать с указанием одной и той же единицы физических величин.
Пример: 80,555 0,002 кг.
Интервалы между числовыми значениями величин следует записывать:
-от 60 до 100 или от 60 до 100;
-свыше 100 до 120 или свыше 100 до 120.
Как правило, результаты имитационного моделирования следует приводить с одинаковой точностью и одинаковым количеством знаков.
Количество приводимых знаков связано с точностью получения результатов.
Оцениваемые величины могут быть, как непрерывными, так и дискретными. Например, если в результате имитационного моделирования получили среднее значение задержки доставки пакета равное 23,021456 мс, полуширина доверительного интервала при доверительной вероятности 0,9 оказалась равной 0,347872 мс. Таким образом, относительная точность результата составила 1,5% (несколько ниже 0,01 от среднего значения). Применим тоже требование и к точности представления доверительного интервала, т. е. представим его двумя знаками после запятой. Тогда полученный результат можно записать как t 23,02 0,35 с.
Например, если в результате имитационного моделирования получили среднее значение длины пакета равное 1390,245603 байт, полуширина доверительного интервала при доверительной вероятности 0,9 оказалась равной 4,473873 байта. Таким образом, относительная точность результата составила 0,3% (ниже 0,001), т. е. мы можем ограничить число знаков в представлении доверительного интервала тремя после запятой, однако природа случайной величины является дискретной, следовательно, целесообразно ограничить приводимый результат только целой частью. Тогда полученный результат можно записать как L 1390 4 байта.
Если при выполнении моделирования имеются особые требования к числу знаков в приводимых результатах, то необходимо следовать этим требованиям.
3.5.Диаграммы и графики
Диаграмма – это общее название геометрического изображения, позволяющего увидеть показатели в их сравнении или проследить динамику изменения какого-либо явления. Понятие графика является
59
частным случаем диаграммы, т. е. это диаграмма выражающая взаимозависимость величин.
В результате имитационного моделирования или измерения в реальной системе могут быть получены значения некоторых параметров в различные моменты времени или модельного времени (временной ряд). Подобный ряд может быть получен не обязательно для моментов времени, а для значений какого-то иного параметра. Графическое представление такого ряда может наглядно иллюстрировать исследуемый процесс и быть полезным при описании результатов.
Графиком называют графическое представление функциональной зависимости от некоторой переменной. В нашем случае, как правило, имеет место набор данных измерений, которые можно рассматривать как функцию времени, заданную таблицей. Описываемая величина может быть как непрерывной, так и дискретной. Это следует учитывать при построении графика. График может быть построен как для непрерывной, так и для дискретной величины.
Основные требования, которым нужно следовать при построении графика (по мнению автора пособия): наглядность, точность, информативность и минимальная достаточность. Прокомментируем их можно следующим образом.
Наглядность – график должен доходчиво демонстрировать то качество, которое автор намерен донести до читателя. График должен быть, по возможности, простым, так как чрезмерно насыщенный график (слишком много кривых и/или комментариев) менее нагляден, чем простой график. Все сказанное можно отнести к выбору цветов, типов начертания линий и т. д. Необходимо следовать принципу минимальной достаточности.
Точность – единицы измерения, масштабы осей и способ изображения кривых должны быть выбраны так, чтобы было можно однозначно и достаточно точно получить значение функции по значению аргумента (и наоборот). Разумеется, что график должен содержать указания единиц измерения по каждой из осей координат.
Информативность – график должен быть, по возможности, максимально информативен. Например, если исследуемая величина не изменяется (всегда постоянна) и это есть то качество, которое автор хочет донести до читателя, то график в виде горизонтальной прямой не будет информативным. Его вообще не следует приводить, достаточно описать это качество в тексте. Информации нет в постоянстве и периодичности, кроме той, что они имеют место, поэтому не следует приводить на графике слишком много повторяющихся участков процесса. Информативность графика можно повысить, приведя на нем несколько кривых, которые можно сравнивать между собой, но при этом следует учитывать требование к наглядности, которое описано выше. На практике, приведение более пяти
60