Материал: ОТС Лекции 1 и 2 часть

Рис.10.2.

Сигнал (АМ, ЧМ, ФМ): Uс(t) = Um (t)cos[ω0t+ϕчм(t)+ϕфм(t)+ϕ0] Опорное напряжение: Uоп(t) = Umcos(ω0t+ϕ0)

У синхронного детектора два входа. На первый вход подается модулированный сигнал, а на второй вход опорное напряжение. Частота опорного напряжения равна центральной частоте сигнала ω0 - (синхронность) , а фаза равна начальной фазе сигнала ϕ0 - (синфазность).

Простейшая принципиальная схема ФД имеет вид:

Uс(t) R C

Рис.10.3. R C

Uоп(t)

51

Напряжение на выходе СД равно интегралу от произведения сигнала на опорное напряжение:

T

_{вых c ( ) ( )} ¹ ( )

∫ ⁼

U t _ОП

T

U t U t dt 0

Пусть на входе АМ сигнал:

Uc(t) = Uам(t) = U(t)cos(ω0t+ϕ0)

^{TU t t U}_m ^{t dt} _T ^{t Uвых}₀⁾ _{0 0} ^{) cos(} _{0 0 ( )cos(} ¹ ( ) ω ϕ ω ϕ =

⁼ _∫ + +

U(t) - практически постоянно на интервале T T

( ) 1 ^U_mU t

= ₂^{( ) )} ₀ ² ₀ ^cos(2 ₂1

^U_m^{U t} _∫ + ω + ϕ = - получили модулирующий

T

₀2

t dt

сигнал без искажений.

Вопросы для самопроверки.

1. Запишите аналитическое выражение для сигнала ФМ. 2. Дайте определение девиации фазы и индекса ФМ.

3. Нарисуйте принципиальную схему синхронного детектора. 4. Рассчитайте напряжение на выходе СД.

11. Случайные процессы.

11.1.Характеристики случайных процессов

Процессы, рассматриваемые в теории связи, могут быть детерминированными или случайными.

Детерминированные процессы - это процессы, течение которых во времени известно заранее и абсолютно точно.

Например, гармонический сигнал U(t) = Umcos(ω0t+ϕ0), где Um,, ω0, ϕ0 - заданы.

Это простейшая модель информационного сигнала, но она оказывается очень не точной для современных систем связи, дает большие погрешности в расчетах. Поэтому вводится новая модель, более сложная - случайные процессы (СП). Случайные процессы таковы, что их течение во времени заранее точно предсказать невозможно.

Пример СП - тепловой шум x(t).

Процесс случайный, т.к. мы не знаем его полностью. СП описывается своими реализациями, т.е. конкретными образцами.

Совокупность реализаций образует ансамбль (полная, но очень сложная характеристика СП).

52

Функция распределения вероятностей сп (фрв).

Функция распределения вероятностей обозначается F(x), характеризует вероятность того, что случайный процесс в некоторый момент времени t1 принимает значение меньшее x1 . Полное обозначение одномерной ФРВ F(x1 ,t1 ) = P(x<x1 , t=t1 )

Двумерная ФРВ.

F2 (x1 t1 ,x2t2) = P (x<x1, t=t1 ,x<x2;t=t2)

Наиболее полная характеристика n- мерная ФРВ:

Fn (x1t1...xntn) = P (x<x1;t<t1; ... x<xn;t=tn)t

Функция плотности вероятностей случайного процесса ( ФПВ) В простейшем случае одномерная ФПВ равна:

^{11 1} ₌ << + =

Δ

_WxtPx x x xt t

_{( ) lim} ( ;)

^{1 1} 0

Δ

^x x

Δ →

Одномерная ФПВ равна пределу отношения вероятности попадания случайного процесса в интервал от x1 до х1+Δх, при t= t1, к Δх при Δх стремящемся к нулю.

Наиболее полной характеристикой является n - мерная ФПВ. ФРВ и ФПВ связаны друг с другом . ФПВ - это первая производная ФРВ по х1, Соответственно, ФРВ равна интегралу от -∞ до х1 от ФПВ:.

x

1

∫

: F(x1t1_{) =} W x t dx

( ) _{11 1}

−∞

Условие нормировки :

∞

( _{1 1}) ₁ ⁼¹ ∫

W x t dx

−∞

Числовые характеристики случайного процесса .

Среднее значение ( математическое ожидание или первый начальный момент)

+∞

m1 ^{=x =} ∫

^{xW(xt )dx}

−∞

Физический смысл m1 - это постоянная составляющая случайного процесса.

2.Второй начальный момент.

+∞

m2 = x^{2 =} ∫

x W(x,t)dx ²

−∞

Физический смысл m2 - это полная средняя мощность случайного процесса на единичном сопротивлении.

53

3.Дисперсия ( второй центральный момент )

2

+∞

σ² = М2 ⁼ ∫

(x−m ) = (x−m ) W(x,t)dx ²

1

−∞

1

Физический смысл σ² - это средняя мощность переменной составляющей случайного процесса на единичном сопротивлении.

Числовые характеристики связаны между собой:

σ² = m2 - m₁2

Стационарность.

1. Нестационарный случайный процесс - ФПВ и ФРВ зависят от начала отсчета времени.

2. Стационарный в узком смысле - ФПВ и ФРВ не зависят от начала отсчета времени.

3. Стационарный в широком смысле - одно- и двумерные ФПВ и ФРВ не зависят от начала отсчета времени.

Для стационарного случайного процесса m1, m2, σ² - не зависят от времени.

Рассмотрим тепловой шум на выходе включенного усилителя: x(t)

Рис.11.1.

t

нестационарный Стационарный

После включения усилитель прогревается и шум на его выходе - нестационарный. После "прогрева" шум будет стационарным процессом.

Эргодичность.

Случайный процесс называется эргодическим, если для него усреднение по времени одной реализации и усреднение по множеству реализаций дает один и тот же результат. Это свойство имеет большое значение на практике, т.к. усреднение по времени одной реализации технически реализовать проще, но оно не всегда дает истинный результат. Поэтому доказательство эргодичности процесса позволяет существенно упростить нахождение его характеристик.

11.2.Нормальный случайный процесс( гауссов процесс).

Процесс называется нормальным или гауссовым, если его одномерная ФПВ имеет вид:

54

⁻ −

x m

( )

2

¹ ( ) ^σ

1

W x e

=

2

2

σ π

2

Графики нормальной ФПВ построены на рис. 11.2.:

W(x)

σ1 σ1 σ1 m1<0 m1=0 m1>0 Рис.11.2. σ2>σ1

m1 - среднее значение случайного процесса . x σ² - дисперсия случайного процесса .

Свойства нормального случайного процесса .

1. W(x) ≥ 0

2. Нормальная ФПВ симметрична относительно x = m1

3. W(x) - max при х = m1

4. Площадь под кривой W(x) равна 1.

5. При изменении m1 форма кривой не меняется, но кривая смещается вдоль оси х.

6. Чем больше дисперсия σ², тем кривая ниже и шире.

7. С вероятностью близкой к 1 (Р≅0,997) мгновенные значения нормального случайного процесса лежат в пределах:

m1 - 3σ < x < m1+3σ

W(x)

Рис.11.3.

3σ 3σ x

Если известна дисперсия и m1, то рабочий участок ВАХ должен иметь протяженность m1±3σ.

8. ФРВ для нормального случайного процесса

_⎢⎢⎢^⎢_⎣^⎡₌⁻ =

x m

_⎥⎥⎥^⎥_⎦⎤

x m m x

2

y

1

−

−

1 1 2

^{x m} y

_{− −} ^{− −}= = =

x

( )

σ σ

¹ ( ) ² 1

1

σ

σ

1

∫ ∫∫

2

y

= =

F x e dx

2

σ

2

2

^{e dy e dy dx} dy σ π π

2

2

σ π

−∞

−∞

−∞

σ

55

_{= F(}x m− ₁

σ ^{) - табулированная функция (интеграл вероятности Лапласа)} F (0) = 0.5 F (-x) = 1- F(x)

F (3.9) = 0.99995 F (-∞) = 0; F(∞) = 1. ФРВ для нормального процесса имеет вид:

F (x)

1

0.5 Рис.11.4. 0 m1 x

11.3.Фпв и фрв для гармонического колебания со случайной начальной фазой.

Рассмотрим случайный процесс в виде гармонического колебания со случайной начальной фазой:

X(t) = Asin ( wt + ϕ )

ϕ - случайная величина, равномерно распределенная на интервале ± π, т.е. ФПВ мгновенных значений фазы , показанная на рис.11.5 равна: ^{W( ) ϕ}_{π =} ¹₂ ; |x| ≤ π

W(ϕ)

1/2π

Рис.11.5. -π 0 π ϕ

Вычислим среднее значение ϕ:

+∞

π

π

¹ ( ) m₁ xW x dx d d

1

∫ ∫ ∫

_ϕ ϕ ϕ ϕ 0

ϕ

= = = =

− ∞

π

2

π

2

π

π

Вычислим дисперсию:

− −

∞

π

¹ ( ) ( )^{3 3 2} 1

₂ π

ϕ π

σ ϕ ^ππ ∫ ∫ ^{x m W x dx d}

2 2

_ϕ = − = = = = ⁻ −

1

2

ϕ

2 3 3 3

−∞

π

π

π

π

ФПВ мгновенных значений x гармонического колебания со случайной фазой, изображенная на рис. 11.6, имеет вид:

⎧ _⎨⎪

0

,

≥

x A 1

_, =

_{A Xx A} ( )

W x

_⎩⎪

₋ 〈

^{2 2} π

56

W(x)

Рис.11.6.

-A 0 A x

Чем больше А, тем кривая ниже и шире. Заштрихованная площадь равна единице. Это площадь под кривой W(x) (условие нормировки).. ФРВ мгновенных значений для гармонического колебания со случайной фазой:

X(t) = Asin ( wt + ϕ )

F x

⎧ ^⎪⎪

0 1

,

х A

≤

1

x

( )

=

+ ≤ arcsin ,

⎨

2

π

_Ax A

^⎪⎪

⎩

1

,

x A 〉

F(x)

1

0.5

Рис.11.7.

-A 0 A x

11.4.ФПВ для суммы нормального случайного процесса и гармонического колебания со случайной начальной фазой. Рассмотрим случайный процесс z(t), равный:

Z(t) = x(t) + Asin (wt+ ϕ)

где x(t) - нормальный случайный процесс;

Asin (wt+ ϕ) - гармоническое колебание со случайной начальной фазой.

W(z) в этом случае находится сверткой.

57

∞

− −

z x

( )

2

^{1 1} ( ) ^σ

W z

∫

₋ = e dx

_{2 2}*

2

2

2

_π σ π

−∞

A x