Материал: ОТС Лекции 1 и 2 часть

Вид ФПВ, т.е. W(z) зависит от параметра:

h² A ²² ₂ ⁼ σ

W(z)

h²=0 h²=∞

h²= 6

Рис.10.8.

0 z

h² = 0 - нормальный случайный процесс (чистый шум). h² → ∞ - одно гармоническое колебание.

11.5.Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса. Случайный процесс y(t) = Um(t) cos ( ω0t+ϕ(t) ) называется узкополосным, если его ширина спектра значительно меньше, чем средняя частота ω0. Um(t) - огибающая случайного процесса (случайная амплитуда) на рис.11.9;

ϕ(t) - фаза случайного процесса.

Для нормального случайного процесса фаза ϕ(t) распределена равномерно (см. выше).

u(t) Um(t)

Рис.11.9.

t

Огибающая нормального случайного процесса Um(t) распределена по закону Релея:

^U W U⁻

2

U_m

₂ ( ) ^σ

_m e

= _{; Um ≥ 0}

m

σ

2

2

58

W(Um)

з-н Релея

з-н Райса Рис.11.10.

0 Um

Если узкополосный случайный процесс есть сумма нормального шума и гармонического колебания с амплитудой А, то его огибающая распределена по обобщенному закону Релея (закон Райса): 2 2

U A

( )

− _m+

_{e I} ^U W U ^m

_σ U A

( ) * ( ) ⁰ 2

⁼ закон Райса.

m

m 2

2

2

σ σ

I0(.) - функция Бесселя от мнимого аргумента.

11.6.Фпв и фрв для дискретных случайных процессов.

Дискретные случайные процессы принимают с определенной вероятностью значения, отличающиеся одно от другого на конечную величину. Вероятность таких значений – число не равное 0. Рассмотрим реализацию дискретного случайного процесса.

x(t)

а

T1

Т2 t Рис.11.11

b

T1+T2=T

Для эргодического стационарного случайного процесса усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной реализации.

^{< < + Δ} =

^{P x x x x} W x

^{( )} ( ) lim

1 1

₀ 1

Δ →

x

_⎜^⎜_⎝^⎛ ⎟ ^Δ _⎠^{⎞ ⎜}_⎝^⎛ =

^T W x

Δ

x

_⎜^⎜_⎝^⎛ ⎟ ^Δ _⎠^{⎞ ⎜}_⎝^{⎛ +} _⎟^⎟_⎠⎞ _⎟^⎟_⎠⎞

T

( ) lim / lim /

₀ 1

1

T

x

0

2

T

x

Δ → Δ → x x

59

T1/T - вероятность того, что случайный процесс принимает значение а.

T2/T - вероятность того, что случайный процесс принимает значение b.

^T W x

T

T

_{( ) ( )} ¹ _{( ) lim} ¹ ( ) lim _Δ = _{Δ → Δ →}

если x a

_Δ ⋅ = +

если x b

⋅ = = − +

1

1

T x

2

T x

1

T

δ

x a

x x

0

0

T

+ −

2

T

δ

( ) x b

ФПВ заданного случайного процесса в соответствии с полученным выражением показана на рис.11.12:

W(x)

T _{δ − ( )} ¹ x a

( ) ² x b T

T _{δ −}T

Рис.11.12. b 0 a x

^{x b} _,^0, δ ^{( )}

^{x a} _,^0, δ ^{( )} _⎩⎨^⎧_{∞ =}^{≠ − =} x b

_⎩⎨^⎧_{∞ =}^{≠ − =} x a

x a

x b

11.7.Нелинейные безынерционные преобразования случайного процесса.

Нелинейное преобразование:

y(t)=f[x(t)] – называется безынерционным, если y(tk) в момент времени tk зависит только от x(tk).

ФПВ для процесса y на выходе:

^dx _{W y W x} ^{( )} ( ) = ( ) =

W x

dy

dy dx

Пусть характеристика нелинейного элемента может быть аппроксимирована линейно-ломаными.

61

y

Рис.11.14 b

-a a x -b

nx b x a

− < −

y

=

^⎪_⎨⎧

,

kx kx a

,

≤

^⎪⎩

nx b x a + >

,

Это нелинейное устройство называется ограничителем.

Пусть на входе ограничителя действует нормальный случайный процесс с нулевым средним m1x=0.

x

2

¹ ( ) ^σ W x e⁻

=

2

2

σ π

2

ФПВ процесса x нарисована на рис.11.15 (верхний рисунок). Рассчитаем ФПВ процесса y:

1. Пусть x ≤ a у=kx (k>1)

W x

^{W x} _{W y} ^{( ) ( ) ( ) = =}

dx

k

Подставим в W(x) вместо x, y/k, тогда

y

2

¹ ( ) ^σ W y ^{− =}

e

k

2

σ π

k

2 2

2

На интервале y ≤ ka ФПВ для у будет нормальной, со средним значением m1y=0, но дисперсия y, т.е. ( . . 1) ^{2 2 2 2} σ _y= k σ > σ т к ⋅ k > .

62

W(x)

x

-a a

W(y)

Рис.11.15.

-ka 0 ka y

2. Пусть:

x a

>

y ka

>

y nx b = +

^{W x} _{W y} ^{( ) ( )} ( ) = = W x

dx

n

y b

ФРВ для случайного процесса принимающего 2 значения x=a и x=b имеет вид:

^{> =} ₌^{⋅ <} = =

^, ( ) ( )

x

∫

F x W x dx −∞

если x b то F x

( ) 0

x b <

x a

T

= +

2

T

x

∫

T

T

x a dx x a

T

+ − = > = + =

δ

( ) 1

1 2 1

−∞

T

_⎪^⎪_⎨⎧

0 ,

x b <

T

T

F x

T

( ) ² =

,

T

b x a < <

_⎪^⎪⎩

1,

x a >

60

F(x)

1

T2/T1

Рис.11.13.

t

b a

Вычислим среднее значение двоичного дискретного случайного процесса, принимающего 2 значения:

x=a c вероятностью T1/T, x=b c вероятностью T2/T

∞

∞

T

∞

T

∞

^{= = − + − = − = =} ∫ ∫ ∫ ∫

m xW x dx x

x b dx x

x a dx f x x a dx f a

₁ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ δ δ

2 1

T

−∞

^T b

a

−∞

T

−∞

T

−∞

= + 2 1

T

∞

T

T

T

^{= = +} ∫

2 2 2 2 1 ( )

m x W x dx b 2

−∞

a

T

T

2

T

T

T

^T b

σ

2 2 2 2 1 2 1 2

m m b

a

( )

a

= − = + − +

2 1

T

T

T

T

_x ⁻ =

Выражаем x через у, т.е. _n

2

( )

y b

⁻ −

¹ ( ) ^σ

W y

=

e

n

2

σ π

2

n

2 2

Это нормальная ФПВ со средним значением b и дисперсией ,( 1) ^{2 2 2}

n σ <σ n<

63

3.Пусть:

x a

< −

y ka

< −

y nx b = −

2

( )

y b

^{W x} W y⁺ − ^{( ) ( ) 1} ( ) ^σ W x

= = =

e

2

n

2 2

dx

n n

σ π 2

Это нормальная ФПВ, m1= -b и дисперсия ^{2 2}

n σ .

ФПВ процесса y дана на рис.11.15 (нижний рисунок).

11.8.Фпв процесса на выходе идеализированного ограничителя.

Такой ограничитель имеет горизонтальные участки насыщения.

^⎪_⎨⎧

kx x a

,

≤

y

=

ka x a

,

>

^⎪⎩

ka x a − < ,

x a y kx ≤ =

1 . ,

y ka

≤

^e W y

−

y

^{2 2} 2

k

σ

^, ₂ ( ) = <

2.

k

x a y ka > =

;

σ π

y ka

² (y b) ⁻ −

при n дисперсия .. ,

→ ∞ → ∞

² 2n

2

= δ ( )

y ka

W(y) lim

e

σ

=

" "

уши сжимаютсяи к функции → −

δ

( )

y ka

= >

P x a

( )

−

δ

nσ 2π

n ,b ka

→∞ →

−

64

< − = −

3. ;

x a y ka δ