кратных дуг.
Для определения амплитуд гармоник по этому методу необходимо аппроксимировать ВАХ нелинейного элемента полиномом и подставить в полином входное гармоническое напряжение:
i = a0 + a1U + a2U2 + a3U3 +
и, в соответствии с методом кратных дуг, представить степени косинусов и синусов в виде соответствующих функций кратных аргументов:
27
U U t вх m 0 = cosω
2 2
= + + + =
ω ω
i a a U t a U t cos cos
0 1 max 0 2 max 0
2
= +
ω ω
cos 0.5 0.5 cos 2
t t
0 0
=
3
1
3
= +
= + +
cos
ω ω ω
ω
t t t a a U t
cos
cos 3
cos
0 0 0 0 1 max 0
4
4
= − + +
α β α β α β 2 cos cos cos( ) cos( )
2
2
a U a U
3
a U
3
a U
3
+ + + + =
cos 2
ω ω ω
2 max
2 max
t
3 max
cos
t
3 max
cos 3
t
0
0
0
2 2
4
4
a U
2
a U
2
3 ) ( 2 ( 3
= + + + + +
ω ω
a
a U a U t
2 max
0
1 max 3 max 4
2 ) cos
2 max
0
cos 2
0
t
I I I 0 1 2
a U
3
+
3 max
4
cos 3
ω
0
t
I
3
Очевидно, что спектральные диаграммы входного напряжения и выходного тока будут аналогичны построенным выше на рис.6.3 и 6.4.
Рассмотрим бигармоническое воздействие.
В этом случае входное напряжение равно сумме двух гармонических колебаний с разными частотами ω1 и ω2:
U U t V t вх max 1 max 2 = cos ω + cos ω (6.3) Подставим Uвх в полином:
2
i a aU a U a aU t aV t
= + + = + + +
ω ω
0 1 2
cos cos
0 1 max 1 1 max 2 2
+ + = + + + a U t V t a aU t aV t ω ω ω ω ( cos cos ) cos cos
2 max 1 max 2
0 1 max 1 1 max 2
2
2
a U a U
2
a V a V
2
+ + + + + ω ω
2 max
2 max
cos2
t
2 max
2 max
cos2
t
1
2 2
2 2
2
a U V [ ] t t
+ + + −
ω ω ω ω
cos( ) cos( )
2 max max 1 2 1 2
В квадратных скобках стоят колебания комбинационных частот. Общая формула для вычисления комбинационных частот: ω1 mω 2 n ± (6.4) В соответствии с выражением для входного напряжения построим спектр:
28
Спектр входного напряжения.
u
Рис.6.5. 0 ω1 ω2 ω
В соответствии с полученным выражением для выходного тока построим его спектр:
Спектр выходного тока.
i
Рис.6.6.
0 ω1 2ω1 ω2 2ω2 ω
ω2-ω1 ω2+ω1
6.3. Расчёт амплитуд гармоник методом 3-х и 5-и ординат. imax
i0
imin Рис.6.7. E
u
t
Метод 3-х ординат.
Метод 3-х ординат позволяет определить амплитуды постоянной составляющей, первой и второй гармоник:
2
i i i I
+ + =
max min 0
0
i i I − =
4
1
max min
2
2
(6.4)
i i i I
+ − =
max min 0
2
4
29
Метод 5-и ординат аналогичен методу 3-х ординат (смотри в учебнике [1]).
Вопросы для самопроверки.
1.Что такое угол отсечки?
2.Укажите порядок расчета спектра тока на выходе нелинейного элемента (НЭ) методом угла отсечки.
3.Что такое оптимальный угол отсечки?
4.Укажите порядок расчета спектра тока на выходе НЭ методом кратных дуг.
5.Укажите порядок расчета спектра тока на выходе НЭ методом 3-х ординат.
6.Постройте спектр тока на выходе нелинейного элемента и поясните, как определить амплитуды гармоник тока различными способами. 7. Что такое комбинационные частоты ?
7.1.Временная и спектральная диаграммы сигнала АМ При АМ амплитуда несущего ВЧ колебания изменяется в соответствии с модулирующим НЧ сигналом.
U t U M U t t АМ m A нч 0 ( ) = (1 + ( )) cos ω (7.1) Um - средняя амплитуда АМ сигнала.
M A - глубина (коэффициент) АМ.
0 ≤ ≤1 M A
Если модулирующий сигнал гармонический:
U t t Н .Ч ,( ) = cos Ω
Ω- модулирующая, низкая частота,
ω0 - несущая, высокая частота, то АМ сигнал принимает вид: U t U M t t AM m A 0 ( ) = (1 + cos Ω ) cosω (7.2)
Временная диаграмма НЧ сигнала:
Uнч(t)
Рис.7.1
t
30
Временная диаграмма модулированного сигнала АМ:
uАМ (t)
ΔU
Um t
Рис.7.2
В соответствии с временной диаграммой глубина амплитудной модуляции равна:
МA=ΔU/Um. (7.3) . Определим спектр АМ сигнала, для чего раскроем скобки в выражении для АМ и представим произведение косинусов в виде косинуса суммы и разности углов:
U t U M t t U t
( ) (1 cos ) cos cos
= + Ω = +
АМ A
ω ω
M U
max 0 max 0 M U
(7.4)
+ + Ω + − Ω cos( ) 2 cos( ) 2
ω ω
t
t
A A
max
max
0
0
Спектр модулирующего сигнала U t t НЧ ( ) = cos Ω .
U
Рис.7.3
Ω ω
Спектр АМ сигнала.
u Um несущая
нижняя MAUm MAUm верхняя боковая 2 2 боковая
ω0-Ω ω0 ω0+Ω ω Рис.7.4
31
ПАМ - ширина спектра сигнала АМ – полоса частот, в пределах которой заключена основная доля энергии сигнала.
ПАМ = 2Ω (7.5)
Боковые имеют высоту (амплитуду) не более половины несущей.
Схема базового амплитудного модулятора имеет вид:
C L
Uнч(t) UАМ(t)
Uвч(t) Рис.7.5. E Ek
На входе 3 напряжения:
1. UНЧ - модулирующее напряжение.
2. UВЧ - несущее напряжение.
3. E - напряжение смещения.
Uвхода (t) = UНЧ +UВЧ + Е =Vm cosΩt +Um cosω0t + E (7.6) Транзистор – нелинейный элемент. Он преобразует спектр входного процесса, чтобы получить нужные нам частоты (несущую и 2 боковых) LC-контур (линейная электрическая цепь) выделяет нужные частоты. Определим спектр тока на выходе транзистора, если ВАХ транзистора аппроксимируется полиномом второй степени.
СМХ –это зависимость амплитуды 1-ой гармоники выходного тока I1 модулятора от напряжения смещения E при амплитуде вч несущей Um=const и амплитуде нч модулирующего сигнала Vm = 0.
33
Расчет СМХ методом угла отсечки. 1.Аппроксимируем ВАХ отрезками прямых. 0,
> = S U E U E
U E
⎩⎨⎧− ≤
0
i S<0;
( ),
0 0
i
E0 u Рис.7.8.
2. Определяем пределы изменения смещения E.
E0 −Um ≤ E ≤ E0 +Um
Um – амплитуда несущей.
3. Задаёмся напряжением смещения Е/.
4. Определяем угол отсечки:
E E0 cos′ − θ =
Um
5. Определяем амплитуду первой гармоники:
( ) I1 = SUmγ 1 θ , где γ1(θ)-коэффициент Берга (см. учебник[1])
6. Возвращаемся в пункт 3 и т.д.
Стандартный вид СМХ показан на рис. 7.9.
Рассмотрим выбор рабочего режима по СМХ.
I1 I1
I1max
рт I10
I1min
Emax Eрт Emin E t
Рис.7.9.
uнч
t
34
1. Выбираем линейный участок (на глаз).
2. Определяем Еmin , Emax , Imax , Imin .
3. Выбираем рабочую точку в середине линейного участка Р.Т.(I10;ЕР. Т.)
4. Определяем максимальную амплитуду модулирующего сигнала для неискажённой модуляции:
V − =
E E
max min
2
max
5. Определяем максимальную глубину амплитудной модуля ции для неискажённых АМ:
MA+− =
I I
1max 1min
I I
1max 1min
Для простейшего случая , когда модулирующий сигнал представляет собой моногармоническое колебание, спектр модулирующего сигнала показан на рис.7.3 и спектр АМ сигнала на рис.7.4.
Пусть модулирующий сигнал содержит две частоты Ω1 и Ω2. Если спектр модулирующего сигнала более сложный, то усложняется спектр АМ сигнала: он содержит спектр модулирующего сигнала, перенесённый на частоту ω0 , несущую частоту ω0 и зеркальное отражение спектра модулирующего сигнала относительно несущей.
Спектр модулирующего сигнала.
U
Рис.7.10. Ω1 Ω2 ω
35
Спектр АМ сигнала.
u Um
2
i a aU a U U U t a a V t U t = + + = = = + Ω + + ( ) ( cos cos
0 1 2
вх m m
ω
0 1 0
2
+ + Ω + + = + Ω + E a V t U t E a aV t ) ( cos cos ) cos
ω
m m m
2 0
2
2
0 1
2
+ + + + Ω + + aU t a E a V a V t a U cos 0.5 0.5 cos2 0.5
ω
m m m m
1 0 1 2
2
2
2
0.5 cos2 2 cos cos 2 a U t a E a V U t t a EV ω ω
+ + Ω + ×
m m m m 2
0 2 2 0 2
× Ω +
cos 2 cos t a EU t
m
ω
2 0
Построим спектр входного напряжения:
Uвх Um
E Vm Рис.7.6.
0 Ω ω0 ω
32
В соответствии с расчетом построим и спектр тока i через транзистор: i
Рис.7.7.
0 Ω 2Ω ω0-Ω ω0 ω0+Ω 2ω0 ω
Резонансный контур настроен на ω0 и выделяет частоты ,( ) ω0 ω0 ± Ω . Сопротивление резонансного контура имеет вид:
Rэ Z (7.7)
ω
( )
=
2 ω ω
⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − +
0 1 2
Q
ω
АЧХ контура показана на рис.7.7 пунктиром.
На контуре выделяются токи с частотами ,( ) ω0 ω0 ± Ω . Для каждой из этих частот резонансный контур имеет свое сопротивление. Умножив амплитуду соответствующей составляющей тока на сопротивление контура для этой частоты , получим амплитуду составляющей напряжения на контуре. В целом, мы получим на контуре АМ сигнол: R U t a U a EU R t a V U Э
= + +
( ) ( 2 ) cos
ω
×
АМ m m Э m m 1 2 0 2
Ω
+
1 (2 )
2
Q
ω
0
[ ] t t
× + Ω + − Ω
cos( ) cos( )
ω ω
0 0
1-ое слагаемое – несущая частота АМ сигнала. 2-ое слагаемое – боковые частоты АМ сигнала.
Спектр напряжения на контуре представляет собой спектр АМ сигнала, рассмотренный нами выше.