Материал: ОТС Лекции 1 и 2 часть

-2ωд - ω д - ωв 0 ωв ωд 2ωд ω

Рис.3.11

3.4. Восстановление непрерывного сигнала из отсчётов. В линию связи передаются импульсы-отсчёты, которые поступают на вход приёмника.

Для восстановления исходного непрерывного сигнала из импульсов отсчётов надо эти импульсы подать на вход идеального фильтра низких частот (ИФНЧ), который имеет следующие характеристики. Амплитудно-частотная характеристика идеального ФНЧ (АЧХ ИФНЧ) имеет вид:

K(ω)

K

- ωд 0 ωд ω

Рис.3.12 Импульсная реакция ИФНЧ, т.е. реакция на дельта-импульс имеет вид:

19

gифнч (t)

Рис. 3.13

t -3 Δt - 2Δt -Δt 0 Δt 2Δt 3Δt

^{sin ω} ( )

t

=

g t K

в

ИФНЧ

ω π t k

ω

в

t

в

=

π

(3.6)

t k k t = = Δ

ω

верх

Первая формула - это выражение для импульсной реакции ИФНЧ, вторая и третья формулы определяют моменты времени, для которых g ИФНЧ(t) обращается в ноль.

Cо спектральной точки зрения мы пропускаем дискретизированный сигнал, имеющий спектр в соответствии с рис.3.9 или 3.11, через ИФНЧ с АЧХ рис.3.12. Очевидно, что на выходе ИФНЧ получим спектр: S(ω)= K Sд(ω) = K Sx(ω) /Δt;

или для АИМ сигнала получим: S(ω)= KSд(ω) = K a₀Sx(ω) /2. Таким образом, с точностью до постоянного множителя мы получили на выходе ИФНЧ спектр исходного сигнала x(t). С временной точки зрения мы получили исходный непрерывный сигнал x(t).

3.5. Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных сигналов.

Теорема Котельникова точно справедлива только для сигналов с финитным (конечным) спектром. На рис.3.14 показаны некоторые варианты финитных спектров:

Sx(ω) 3

2

1

0 ωв ω

Рис.3.14.

Однако спектры реальных информационных сигналов бесконечны. В этом случае теорема Котельникова справедлива с погрешностью.

20

Sx(ω)

0 ωв ω

Рис.3.15.

Погрешность дискретизации определяется энергией спектральных составляющих сигнала, лежащих за пределами частоты ωв.

^∞ ∙ ∫

2

^{2 ( )} (3.7) Δ =

E_д S _x d

ω ω

ω

в

Вторая причина возникновения погрешностей - неидеальность восстанавливающего ФНЧ.

Т.о. погрешность дискретизации и восстановления непрерывного сигнала определяется следующими причинами:

1) Спектры реальных сигналов не финитны.

2) АЧХ реальных ФНЧ неидеальны.

Например, если в качестве ФНЧ использовать RC- фильтр, то восстановленный сигнал на его выходе будет иметь вид:

Рис.3.16.

с учетом того, что импульсная реакция RC-фильтра равна:

₌ ¹ ( )

_RC g t ⁻ _RC e

t

RC

_{Вывод: чем выше} ω_в и чем ближе характеристики ФНЧ к идеальным, тем ближе восстановленный сигнал к исходному.

Вопросы для самопроверки.

1. Какие сигналы называются непрерывными?

2.Какие сигналы называются дискретными?

21

3. Сформулируйте теорему Котельникова.

4.Рассчитайте и постройте спектр дискретизированного сигнала. 5. Рассчитайте и постройте спектр сигнала АИМ.

6. Как восстановить непрерывный сигнал из отсчетов?

7. Чем определяются погрешности дискретизации и восстановления сигналов?

4.Классификация электрических цепей.

Любая электрическая цепь описывается дифференциальным уравнением.

dU

2

d U

n

d U

α U ^{α α  α} (4.1) ₀ + ₁ + ₂ + + = _n

0 ₂

dt

dt

ⁿ dt

1) Если α _k =const , то это линейная электрическая цепь (ЛЭЦ). Она состоит из линейных элементов R,L,C.

Рис.4.1

Для линейной цепи справедлив принцип суперпозиции: реакция на суммарное воздействие равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности.

5. Аппроксимация характеристик.

5.1.Общие положения

Аппроксимация – замена истинной сложной характеристики более простым выражением.

Аппроксимация состоит из 3-х этапов:

1) выбор аппроксимирующей функции.

2) определение коэффициента аппроксимации.

3) оценка точности аппроксимации.

23

5.2. Аппроксимация полиномом.

В этом случае произвольная характеристика ( для определенности будем рассматривать вольт-амперную характеристику ВАХ )– аппроксимируется полиномом вида:

i = a₀ + a₁U + a₂U ² + a₃U ^{3 +} (5.1)

При этом виде аппроксимации обычно требуют совпадения заданной и аппроксимирующей характеристик в нескольких выбранных точках (см. рис.5.1)

i

i з (u)

i(u)

3

2

Рис.5.1

1 u

I (u ) з - заданная вах. I(u) - аппроксимирующая вах. I (u ) з и I(u) должны совпадать в заданных точках (1,2 и 3). M I u

1( ; )

1 1

m i U

2( ; ) 2 2

m i U

3( ; ) 3 3

(5.2)

_{Составим уравнения для определения} a_{k .}

^⎪_⎨⎧

2

i a a U a U = + +

1 0 1 1 2 1 2

i a a U a U = + +

(5.3)

2 0 1 2 2 2 ^⎪⎩

2

i a a U a U = + +

3 0 1 3 2 3

Отсюда определяем _{0 1 2} a ,a ,a . Размерность аk, если :

i[ ] [] мА ,U В , то a0[mA], a1[mA/B], a2[mA/B²].

5.3. Линейно-ломаная аппроксимация. При этом виде аппроксимации заданная характеристика iз(u) аппроксимируется отрезками прямых (рис.5.2) :

24

S u E u E

( ),

_⎩⎨^⎧_<^{− ≥} =₀0 0

ⁱ (5.4)

0,

u E

^{i S tg} ₋ = α =

1

u E

1 0

E0 -напряжение отсечки i

i1

iз(u) α

Е0 u1 u

Рис.5.2

Вопросы для самопроверки.

1.Что такое аппроксимация?

2.Какие виды аппроксимации Вы знаете?

3.Что такое аппроксимация полиномом?

4.Аппроксимируйте произвольную ВАХ полиномом.

5. Аппроксимируйте произвольную ВАХ отрезками прямых.

6. Методы расчёта спектра тока на выходе нэц. 6.1. Метод угла отсечки.

Ток на выходе нелинейного элемента имеет вид импульсов при входном гармоническом воздействии (рис.6.1).

Углом отсечки θ называется половина части периода, выраженная в градусах, в течение которого протекает выходной ток (рис.6.2).

^{U i =} _{- характеристика ЛЭЦ ;} U_вх =U₁+U₂

^{Например:} R

i

=

U

1

1

^⇒ 1 2

R

U

^{+ = =}

i ^вх

U U

_вх = +

U

i

=

2

R

^{1 2} i i R

2

R

В линейной цепи невозможно появление новых частот, не содержащихся во входном воздействии.

2) Если (i,U ) α _k = α _k , то цепь называется нелинейной электрической цепью (НЭЦ) и состоит из нелинейных R(i), L(i),C(u). Рис.4.2

22

Для НЭЦ несправедлив принцип суперпозиции. Пусть НЭЦ описывается уравнением:

i a U

2

=

2

U U U

вх

= +

1 2

^⇒ 1 2 2

i a U =

_{2 1 2} i =a (U +U ) ≠i +i

2

1 2 1 i a U

=

2

2 2 2

В НЭЦ возникают новые частоты, не содержащиеся во входном воздействии.

3) Если (t) α _k = α _k , то цепь называется параметрической (ПЭЦ) и состоит из элементов, зависящих от времени :

Рис.4.3

Для ПЭЦ: а) справедлив принцип суперпозиции.

б) возможно появление новых частот.

ПЭЦ конструируется на основе нелинейных элементов, на которые мы подаём напряжение, зависящее от времени.

Вопросы для самопроверки.

1.Какая электрическая цепь называется линейной?

2.Какая электрическая цепь называется нелинейной?

3.Какая электрическая цепь называется параметрической? 4.Для каких цепей справедлив принцип суперпозиции?

5.В каких цепях появляются новые частоты?

i i(t)

Imax

E E₀

u t θ 2θ

Um

t Рис.6.1

25

i θ =180° i θ =90° i θ<90°

t t t

i i

θ>90° θ = 0°

t t Рис.6.2.

На рис. 6.1 на входе нелинейного элемента (НЭ) действует гармоническое напряжение с частотой ω0 и амплитудой Um. Напряжение смещения Е задает рабочую точку на ВАХ . Ток на выходе НЭ имеет вид импульсов с амплитудой Imax. Периодическую последовательность импульсов iвых (t) представим рядом Фурье:

( ) cos cos 2 cos3 cos 4 .... i_вых t = I₀ + I₁ ω₀t + I ₂ ω₀t + I₃ ω₀t + I ₄ ω₀t + (6.1) Порядок расчета амплитуд гармоник Ik методом угла отсечки следующий:

1) Определяем (1 cos ) I _max = SU_m − θ i

E − ^E = ⁰

cosθ (правая ВАХ) u

2) Рссчитываем : _Um

i

E E⁰ _cos ⁻ θ = (левая ВАХ) u

_Um

3) определяем амплитуду n-ой гармоники.

( ) I_n =I_maxα_n θ

α (θ ) _n - коэффициенты Берга (определяем по графикам в учебнике[1]). Коэффициент гармоник характеризует относительный уровень нелинейных искажений гармонического сигнала и рассчитывается по формуле:

2

2

2

I I I

K_Г^{+ + + =} (6.2)

2

I

1

3

4

26

Спектр входного напряжения.

u

Um

0 ω0 ω Рис.6.3

Спектр выходного тока.

i

…… Рис.6.4.

0 ω0 2ω0 3ω0 4ω0 ω Угол отсечки θ _опт - называется оптимальным, если амплитуда n-ой гармоники будет максимальной.

Если _max I _{= const, то n опт}^{ 120} θ = (например, ₃I _{- максимальна, если} ^ = 40 θ_опт ) ^{ 180} θ ⁼ (например, I4 - максимальна при θ _опт =45⁰)

Если Um^{= const, то} n ^опт