Материал: Надежность технических систем и техногенный риск. практикум. Вялова Е.П., Ильина Н.В

:

:

P_j1 (+)P_j + P_j+1=0 ; ; (9.6)

:

:

P_k P_k+1=0.

Для решения системы (9.6) необходимо добавить уравнение

. (9.7)

В результате решения системы (9.6) совместно с уравнением (9.7) получим установившиеся значения коэффициентов простоя и готовности:

(9.8)

Если та же система, состоящая из k+1 элементов, обслуживается (k+1) ремонтными бригадами (неограниченное восстановление), то очередь на ремонт отсутствует. Схема состояний для ненагруженного резерва и неограниченного восстановления представлена на рис. 9.2. В результате решения системы уравнений при P_j(t)=0 получим:

(9.9)

Рассуждая аналогично, получим:

для ограниченного восстановления

K_г=1K_п ; (9.10)

для неограниченного восстановления

(9.10^a)

Рассмотрим резервированные системы, для которых отказы недопустимы, но ремонт отказавшего элемента производится во время выполнения задачи. Если система состоит из основного элемента и k элементов в нагруженном резерве, то для случая ограниченного восстановления схема состояний представлена на рис.9.5. При попадании системы в состояние (k+1) происходит отказ системы, который недопустим и приводит к невыполнению поставленной задачи.

Вероятность безотказной системы работы

(9.11)

найдена в предположении, что при t=0 в системе нет неиспользованных элементов, т.е.

P₀(0)=1; P₁(0)= ... =P_k+1(0)=0.

Вероятность отказа системы в течении времени выполнения задачи также является условной вероятностью и равна

(9.12)

Важным показателем является среднее время безотказной работы

(9.13)

При решении системы уравнений, составленных по схеме состояний с помощью преобразований Лапласа, целесообразно использовать правило, облегчающее расчет. Для определения среднего времени безотказной работы достаточно найти преобразование Лапласа вероятности безотказной работы P(s) и подставить в него s=0. .

Решение типовых задач

Задача 9.1. Для питания радиостанции используется электроагрегат с двумя генераторами, каждый из которых обладает производительностью, достаточной для нормальной работы: эти генераторы работают поочередно. При отказе работающего генератора в работу включается резервный генератор, а отказавший отключается и ремонтируется. Отказ электроагреграта состоит в прекращении питания радиостанции. Конструкция электроагрегата допускает одновременный ремонт обоих генераторов, имеется нужное число ремонтников. Интенсивность отказов одного генератора равна λ, а интенсивность восстановления одного генератора равна μ. Вычислить коэффициент готовности электроагрегата, если =5. Предполагается показательное распределение времени безотказной работы и времени восстановления.

Решение. Электроагрегат может находится в одном из трех состояний, которые обозначены цифрами:

0 - электроагрегат работоспособен, оба генератора работоспособны.

1 - электроагрегат работоспособен, но один из генераторов отказал и находится в ремонте.

2 - электроагрегат неработоспособен, оба генератора ремонтируются.

Обозначим вероятности указанных состояний в момент времени t через P₀(t), P₁(t), P₂(t). Эти вероятности при t имеют пределы P₀ , P₁ , P₂ .

Поскольку для рассматриваемого электроагрегата переход из состояния 0 в состояние 1 не нарушает его работоспособности, то

K=P₀+P₁ .

Составим схему состояний (рис.9.6.) и соответствующую этой схеме систему уравнений

P₀(t)+P₁(t) ;

P₀(t)(+)P₁(t)+2P₂(t) ;

P₁(t)2P₂(t) .

Для определения установившихся значений P₀ и P₁ положим все производные равными нулю. Учитывая, что P₀(t)+P₁(t)+P₂(t)=1, получаем:

P₀+P₁=0 ;

P₀(+)P₁+2P₂=0 ;

P₀+P₁+P₂=1 .

Для получения величин P₀ , P₁ , P₂ используем правило Крамера:

где определитель, элементами которого являются коэффициенты при P₀ , P₁ , P₂ ; _i определитель, который образуется из путем замены iго столбца коэффициентами правой части системы уравнений. Определим , ₀ , ₁ . Имеем

( + ) + 2² + 2 =² + 2( + ) .

Определим P₀ , P₁ . Получим

Обозначив

получим в результате

Соответственно

При =0,2 получим K=0,98 .

Задача 9.2. Связная радиостанция включает в себя приемный и передающий блоки, интенсивности отказов которых одинаковы и равны λ=10² 1/час . Интенсивность восстановления μ=2 1/час . Станцию обслуживает одна ремонтная бригада. При неработоспособности любого из блоков радиостанция неработоспособна. При этом работоспособный блок не выключается и в нем могут происходить отказы. Требуется определить значения коэффициентов готовности и простоя радиостанции.

Решение. Связная радиостанция в любой момент времени может находиться в одной из трех состояний:

0 - оба блока работоспособны;

1 - один блок работоспособен;

2 - оба блока неработоспособны.

Радиостанция работоспособна только в состоянии 0 и неработоспособна в состояниях 1 и 2. Схема состояний с соответствующими интенсивностями переходов представлена на рис.9.7. Этой схеме соответствует система дифференциальных уравнений:

2P₀(t) + P₁(t) ;

2P₀(t) ( + )P₁(t) + P₂(t) ;

P₁(t) P₂(t) .

При t и переходим к системе алгебраических уравнений

2P₀ + P₁=0 ;

2P₀ (+)P₁ + P₂ = 0 ;

P₁ P₂ = 0 .

При решении этой системы используем нормировочное условие

P₀ + P₁ + P₂ = 1 ,

которое может заменить любое из уравнений системы. В результате решения системы уравнений либо подстановкой, либо по правилу Крамера получим

Коэффициент готовности радиостанции равен

Коэффициент простоя

Подставляя числовые значения, получаем:

K 10² ; K = 1 K 0,99 .

Задача 9.3. Специализированная бортовая ЭВА состоит из трех блоков (1, 2 и3), два из которых (1 и 2) включены последовательно в основную цепь, а блок 3 находится в состоянии ненагруженного резерва (рис.9.8.). Известно также, что интенсивность отказов ₂ блока 2 пренебрежимо мала по сравнению с интенсивностями отказов ₁ и ₃ блоков 1 и 3 (т.е. λ₁ = λ₃ >> λ₂) и устройство эксплуатируется в условиях ограниченного восстановления. Требуется определить коэффициенты готовности K_Г и простоя K_П. Интенсивность отказов и восстановлений устройства равны соответственно λ и μ, причем μ/λ=1.

Решение. Если предположить, что наличие в системе блока 2 не ухудшает ее надежность, то можно выделить следующие три состояния, в которых может пребывать устройство:

0 - блоки 1 и 3 исправны и ЭВА работоспособна;

1 - один из блоков (1 или 3) поврежден и ремонтируется, а система по-прежнему сохраняет работоспособность;

2 - оба блока (1 и 3), а следовательно, и система в целом неработоспособна.

Схема перечисленных состояний приведена на рис.9.9.

Обозначим вероятности указанных состояний в некоторый момент времени t соответственно P₀(t) , P₁(t) , P₂(t) .

Очевидно, что .

Ясно, что K = P₀ + P₁ , поскольку переход системы из состояния 0 в состояние 1 (0 1 ) не отражается на ее работоспособности, а K = P₂ или K = 1 K , так как P₀ + P₁ + P₂ = 1 .

Запишем уравнения, соответствующие схеме состояний устройства. В соответствии с (9.5) и рис.9.9. получим