Материал: Надежность технических систем и техногенный риск. практикум. Вялова Е.П., Ильина Н.В

Разложив по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего порядка малости, получим

Учитывая, что P(t) =exp(-t)1-t, интенсивность отказов элемента должна быть

1/час.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 6.1. В телевизионном канале связи, состоящем из приемника и передатчика, применено раздельное дублирование передатчика и приемника. Передатчик и приемник имеют интенсивности отказов λ_п=2*10^-3 1/час и λ_пр=1*10^-3 1/час соответственно. Схема канала представлена на рис.6.6. Требуется определить вероятность безотказной работы канала P_c(t), среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t) , интенсивность отказов λ_с(t).

Задача 6.2. Радиоэлектронная аппаратура состоит из трех блоков: I, II и III. Интенсивности отказов для этих трех блоков соответственно равны: λ₁,λ₂,λ₃. Требуется определить вероятность безотказной работы аппаратуры Pc(t) для следующих случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется дублирование каждого блока.

Задача 6.3. Нерезервированная система управления состоит из n =4000 элемвнтов. Известна требуемая вероятность безотказной работы системы P_c(t) =0,9 при t=100 час. Необходимо рассчитать допустимую среднюю интенсивность отказов одного элемента, считая элементы равнонадежными, для того чтобы приближенно оценить достижение заданной вероятности безотказной работы при отсутствии профилактических осмотров в следующих случаях: а) резервирование отсутствует; б) применено раздельное (поэлементное) дублирование.

Задача 6.4. В радиопередатчике, состоящем из трех равнонадежных каскадов (n=З) применено раздельное дублирование каждого каскада. Интенсивность отказов каскадов равна λ=5∙10^-4 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы P_c(t) в течение времени t = 100 час и среднее время безотказной работы m_tc радиопередатчика.

Задача 6.5. Вычислитель состоит из двух блоков, соединенных последовательно и характеризуется соответственно интенсивностями отказов λ₁=120,54∙10^-6 1/час и λ₂=185,66∙10^-6 1/час. Выполнено пассивное поэлементное резервирование с неизменной нагрузкой блока 2 (см. рис. 6.8). Требуется определить вероятность безотказной работы Р_с(t) вычислителя, среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов λ_с(t) вычислителя. Определить Р_с(t) при t час.

Задача 6.6. Вычислительное устройство состоит из n одинаковых блоков, к каждому из которых подключен блок в нагруженном резерве. Интенсивность отказов каждого блока равна 10⁴ 1/час. Требуется определить вероятность безотказной работы Р_с(t) устройства и среднее время безотказной работы устройства m_tc.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7

РЕЗЕРВИРОВАНИЕ С ДРОБНОЙ КРАТНОСТЬЮ И ПОСТОЯННО

ВКЛЮЧЕННЫМ РЕЗЕРВОМ

Теоретические сведения

Резервированная система состоит из l отдельных систем. Для ее нормальной работы необходимо, чтобы исправными были не менее чем h систем. Кратность резервирования такой системы равна

. (7.1)

Предполагается, что основные и все резервные системы равно надежны. Вероятность безотказной работы резервированной системы:

, (7.2)

Здесь Р_о(t) – вероятность безотказной работы основной системы или любой резервной системы; l – общее число основных и резервных систем; h число систем, необходимых для нормальной работы. λ_о есть интенсивность отказов любой одной из систем. Будем предполагать, что для любой отдельно взятой системы справедлив экспоненциальный закон надежности, т.е.

(7.3)

Определим среднее время безотказной работы системы. Имеем

. (7.4)

Решение типовых задач

Задача 7.1. Система электроснабжения блока ЭВМ состоит из четырех генераторов, номинальная мощность каждого из которых 18 квт. Безаварийная работа блока еще возможна, если система электроснабжения может обеспечивать потребителя мощностью 30 квт. Необходимо определить вероятность безотказной работы системы энергоснабжения в течение времени t=600 час, среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _с(t) системы энергоснабжения, если интенсивность отказов каждого из генераторов 10^-3 1/час.

Решение. Мощности двух генераторов достаточно для питания блока ЭЦВМ, так как их суммарная мощность составляет 36 квт. Это означает, что отказ системы электроснабжения еще не наступит, если откажут один или два любых генератора, т.е. имеет место случай резервирования с дробной кратностью m 2/2 при общем числе устройств, равном 4. На основании формулы (7.2) имеем

Так как

C₄⁰=1; C₀⁰=1; C₄¹=4; C₁⁰=1; C₁¹=1; C₄²=6; C₂⁰=1; C₂¹=2; C₂²=1,

то

P_c(t)=6P₀²(t)- 8P₀³(t)+ 3P₀⁴(t).

Так как P₀(t)=exp(- t), то

P_c(t)=6e ^{- 2t}- 8e ^{- 3t}+3e ^-4t.

Для данных нашей задачи t = 0,09. Тогда

P_c(600)=0,997.

Среднее время безотказной работы на основании формулы (7.4) будет

час .

Определим частоту отказов f_c(t). Имеем

.

Определим интенсивность отказов λ_с(t). Получим:

.

Задача 7.2. Для повышения точности измерения некоторой величины применена схема группирования приборов из пяти по три, т.е. результат измерения считается верным по показанию среднего (третьего) прибора. Требуется найти вероятность безотказной работы P_c(t), среднее время безотказной работы m_tc такой системы, а также частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _c(t) системы, если интенсивность отказов каждого прибора λ= 0,4 10^-3 1/час.

Решение. В данном случае измерительная система отказывает в том случае, если откажут из пяти приборов три и более, т.е. имеет место общее резервирование дробной кратности, когда общее число приборов l = 5, число приборов, необходимых для нормальной работы, h = 3, а кратность резервирования m = 2/3.

Используя формулу (7.2), получаем

Так как

C₅⁰=1; C₀⁰=1; C₅¹=5; C₁⁰=1; C₁¹=1; C₅²=10; C₂⁰=1; C₂¹=2; C₂²=1,

то

P_C(t)=P₀⁵(t)+5P₀⁴(t)1P₀(t)+10P₀³(t)12P_o(t)+P₀²(t)=

=6P₀⁵(t)15P₀⁴(t)+10P₀³(t).

Так как P₀(t)=exp(t), то P_c(t)=6e^5t 15e^4t+10e^3t.

Среднее время безотказной работы на основании формулы (7.4) будет

1958 час.

Определим частоту отказов f_c(t). Имеем

=30e^3t(e^2t 2e^t+1)=30e^3t(1e^t)².

Определим _с(t). Получим

Задачи для самостоятельного решения

Задача 7.1. Интенсивность отказов измерительного прибора λ=0.83∙10^-3 1/час. Для повышения точности измерения применена схема группирования из трех по два (m=1/2). Необходимо определить вероятность безотказной работы схемы P_c(t), среднее время безотказной работы схемы m_tc , частоту отказов f_c(t) , интенсивность отказов λ_c(t) схемы.

Задача 7.2. Интенсивность отказов измерительного прибора λ=0.83∙10^-3 1/час. Для повышения точности измерения применена схема группирования из пяти по три (m=2/3 ). Необходимо определить вероятность безотказной работы схемы P_c(t) , частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов λ_с(t) схемы.

Задача 7.3. Автомобильный двигатель имеет l=4 свечи зажигания по одной на каждый цилиндр. Интенсивность отказов свечи λ=10³ 1/час , а длительность работы двигателя в течение всего путешествия t=20 час. Предполагается, что автомобиль может ехать также при одном неработающем цилиндре. Необходимо определить вероятность безотказной работы двигателя P_c(t), среднее время безотказной работы двигателя m_tc , частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов λ_c(t) двигателя. Какова вероятность того, что автомобиль доставит туристов в пункт назначения без замены свечей?

Практическое занятие № 8 скользящее резервирование при экспоненциональном законе надежности Теоретические сведения

Вероятность безотказной работы резервированной системы определяется соотношением

(8.1)

где λ₀ = n - интенсивность отказов нерезервированной системы; λ- интенсивность отказа элемента, n - число элементов основной системы; m₀ - число резервных элементов, находящихся в ненагруженном резерве.

В этом случае кратность резервирования

m = m₀ / n . (8.2)

Среднее время безотказной работы резервированной системы определяется формулой

m_tc = T₀ (m₀ + 1), (8.3)

где T₀ - среднее время безотказной работы нерезервированной системы.

Решение типовых задач

Задача 8.1. Система состоит из двух одинаковых элементов. Для повышения ее надежности конструктор предложил скользящее резервирование при одном резервном элементе, находящемся в ненагруженном состоянии. Интенсивность отказов элемента равна λ. Требуется найти вероятность безотказной работы P_c(t) резервированной системы, среднее время безотказной работы m_tc системы, а также частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов λ_c(t) резервированной системы.

Решение. В рассматриваемом случае n = 2; m₀ = 1; λ₀ = λn = 2.

На основании формулы (8.1) имеем

или

.

Определим m_tc . Получим

или

.

Определим частоту отказов f_c(t). Имеем

или

Определим интенсивность отказов λ_c(t). Получим

Задача 8.2. Цифровая вычислительная машина состоит из 1024 однотипных ячеек и сконструирована так, что есть возможность заменить любую из отказавших ячеек. В составе ЗИП имеется 3 ячейки, каждая из которых может заменить любую отказавшую. Требуется определить вероятность безотказной работы ЦВМ P_c(t) , среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов λ_c(t). Также требуется определить P_c(t) при t=10000 час. Известно, что интенсивность отказов ячейки λ=0.12∙10^-6 1/час. Под отказом будем понимать событие, когда ЦВМ не может работать из-за отсутствия ЗИПа, т.е. когда весь ЗИП израсходован и отказала еще одна ячейка памяти ЦВМ.