Материал: Надежность технических систем и техногенный риск. практикум. Вялова Е.П., Ильина Н.В

Задачи для самостоятельного решения

Задача 5.1 Передающее устройство состоит из одного работающего передатчика (λ=8∙10^-3 1/час) и одного передатчика в облегченном резерве (λ₀ = 8∙10^-4 1/час) . Требуется определить вероятность безотказной работы устройства P_c(t) , среднее время безотказной работы устройства m_tc. Определить Pc(t) при t = 20 час.

Задача 5.2. В радиопередающем канале связной системы используется основной передатчик П₁, два передатчика П₂ и П₃, находящиеся в ненагруженном резерве. Интенсивность отказов основного работающего передатчика равна λ₀=10^-3 1/час. С момента отказа передатчика П₁ в работу включается П₂, после отказа передатчика П₂ включается П₃. При включении резервного передатчика в работу его интенсивность отказов становится равной λ₀. Считая переключатель абсолютно надежным, определить вероятность безотказной работы P_c(t) радиопередающего канала, среднее время безотказной работы m_tc канала. Определить также P_c(t) при t=100 час.

Задача 5.3. Устройство автоматического поиска неисправностей состоит из двух логических блоков. Среднее время безотказной работы этих блоков одинаково и для каждого из них равно m_t= 200 час. Требуется определить среднее время безотказной работы устройства m_tc для двух случаев: а) имеется ненагруженный резерв всего устройства; б) имеется ненагруженный резерв каждого блока.

Практическое занятие № 6 расчет надежности системы с поэлементным резервированием Теоретические сведения

При поэлементном резервировании резервируются отдельно элементы системы. Определим количественные характеристики надежности системы.

Запишем вероятность отказа i - ой группы. Имеем

; (6.1)

где q_ij(t) - вероятность отказа элемента Э_ij на интервале времени (0, t). Запишем вероятность безотказной работы j-ой группы. Получим

; , (6.2)

где P_ij(t) - вероятность безотказной работы элемента Э_ij на интервале времени (0,t); m_i - кратность резервирования элемента j-ой группы. Запишем вероятность безотказной работы системы с поэлементным резервированием

или

(6.3)

Для равно надежных элементов системы и m_i=m=const имеем:

P_ij(t)=P(t) ; (6.4)

P_c(t) =[1-[1-P(t)]^m+1]ⁿ . (6.5)

Если

P_ij(t)=P_i(t), (6.6)

то формула (6.З) примет вид

. (6.7)

При экспоненциальном законе надежности, когда P_i(t)=e^-it,

(6.8)

В этом случае формула (6.5) примет вид

(6.9)

а среднее время безотказной работы системы определяется соотношением

(6.10)

Подставляя (6.9) в (6.10),получим

(6.11)

где v_j=(j+1)/(m+1) .

Решение типовых задач

Задача 6.1.Для повышения надежности усилителя все его элементы дублированы. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы. Необходимо найти вероятность безотказной работы усилителя в течение t =5000 час. Состав элементов нерезервированного усилителя и данные по интенсивности отказов элементов приведены в табл.6.1.

Таблица 6.1

Решение. В рассматриваемом случае имеет место раздельное резервирование с кратностью m_i = m= 1, число элементов нерезервированного усилителя n = 11. Тогда, используя данные табл.6.1., на основании формулы (6.8) получим

Так как λ_i<<1, то для приближенного вычисления показательную функцию можно разложить в ряд и ограничиться первыми двумя членами разложения: 1-exp(-5000 λ_i)5000 λ_i.

Тогда

=1-2510^-6[2.16²+50.23²+30.32²+0.78²+0.09²]10^{-100.985 .}

Задача 6.2. Схема расчета надежности резервированного устройства приведена на рис.6.2. Интенсивности отказов элементов имеют следующие значения : λ₁=0,23*10^-3 1/час; λ₂=0,5*10^-4 1/час; λ₃=0,4*10^-3 1/час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы. Необходимо найти среднее время безотказной работы устройства, вероятность безотказной работы устройства, интенсивность отказов устройства.

Решение.

(6.12)

где P_c(t) - вероятность безотказной работы устройства. Очевидно

P_c(t) =P_I(t)∙P_II(t)∙P_III(t) . (6. 13)

Здесь P_I(t), P_II(t), P_III(t) - вероятность безотказной работы I, II и III группы элементов. Имеем

P_I(t) =1-q_I(t); q_I(t)=[1-P₁(t) ]²;

P_I(t) =1-[1-P₁(t) ]²=2P₁(t) -P₁²(t);

P_II(t) =P₂(t) ;

P_III(t) =1-q_III(t); q_III(t)=[1-P₃(t) ]²;

P_III(t) =1-[1-P₃(t) ]²=2P₃(t) -P₃²(t) .

Из (16.13) имеем

P_c(t) =[2P₁(t) -P₁²(t)]P₂(t) [2P₃(t) -P₃²(t)]=

=4P₁(t) P₂(t) P₃(t) - 2P₁²(t)P₂(t) P₃(t)- 2P₁(t)P₂(t) P₃²(t)+P₁²(t)P₂(t) P₃²(t).

Так как P₁(t) = ; P₂(t) = ; P₃(t) = , то

P_c(t) =4 - 2 - +

или

P_c(t) =4e^{-0,68*0,001*t}-2e^{-0,91*0,001*t}-2e^{-1,08*0,001*t}+e^{-1,31*0,001*t} . (6.14)

Подставляя (6.14) в (6.12), получим

или

час .

Известно, что

. (6.15)

Oпределим f_c(t). Имеем

(6.16)

или

Из (6.15) получим

Задача 6.3. Схема расчета надежности устройства приведена на рис. 6.3. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов устройства и все элементы устройства равно надежны. Интенсивность отказов элемента λ= 1,33∙10^-31/час. Требуется определить f_c(t) ,m_tc, P_c(t) , λ_с(t) резервированного устройства.

Решение

; (6.17)

P_c(t)=P_I(t)P_II(t)= , т.к. P_I(t)=P_II(t) ;

P_I(t)=1-q_I(t) ; q_I(t)=q²(t) ; q(t)=1-P(t) ; P(t)=e^-t ;

q(t)=1-e^-t ; q_I(t)=(1-e^-t)² ; P_I(t)=1-(1-e^-t)² ;

P_c(t)=[1-(1-e^-t)²]²

или

P_c(t )=(1-1+2e^{- t}-e^{- 2t})² = 4e^{- 2t} - 4e^{- 3t} + e^{- 4t} . (6.18)

Подставляя (6.18) в (6.17), получим

час .

0пределим f_c(t). Имеем

Определим _с(t). Имеем

Задача 6.4. Нерезервированная система управления состоит из n=5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести раздельное дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы cистемы P_c(t) = 0,9 при t = 10 час, необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов.

Решение, Вероятность безотказной работы системы при раздельном дублировании и равно надежных элементах равна:

где Р(t) - вероятность безотказной работы одного элемента.

Так как должно быть

то