Материал: Надежность технических систем и техногенный риск. практикум. Вялова Е.П., Ильина Н.В

Решение. Найдем вероятность безотказной работы изделия:

Р_с(100)=Р₁(100)*Р₂(100)=0,95*0,97=0,92 .

Найдем интенсивность отказов изделия, воспользовавшись формулой

Р_с(t)=e^-ct

или

Р_с(100)=0,92=e^-c100 .

По таблице П.7.14[1] имеем

_с*1000,083 или _с=0,83*10^-3 1/час .

Тогда

m_tс=1/_c=1/(0,83*10^-3)=1200 час.

Задача 3.5. Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна P(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из n = 100 таких же элементов.

Решение. Вероятность безотказной работы системы равна Р_c(t)= Pⁿ(t)=(0,9997)¹⁰⁰.

Вероятность Р_c(t) близка к единице, поэтому для ее вычисления воспользуемся формулой (3.18). В нашем случае q(t)=1-P(t)=1-0,9997=0,0003.

Тогда Р_c(t) 1-nq(t)=1-100*0,0003=0,97.

Задача.З.6.Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна Р_c(t)=0,95. Система состоит из n= 120 равнонадежных элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента.

Решение. Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента будет

Так как Р(t) близка к единице, то вычисления Р(t) удобно выполнить по формуле (3.18).

В нашем случае q_c(t)=1- Р_c(t)=1-0,95=0,05.

Тогда

Задача 3.7. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ_ср =0,32*10^-6 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 час.

Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (З.11) будет

λ_с=_ср*n=0,32*10^-6*12600=4,032*10^-3 1/час.

Тогда на основании (З.13)

Р_c(t)= е^-λct или Р_c(50)= е^{-4,032*0,001*50} = 0,82.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.8. Аппаратура связи состоит из 2000 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ_ср= 0,33 * 10^-5 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы аппаратуры в течении t = 200 час и среднее время безотказной работы аппаратуры.

Задача 3.9. Невосстанавливаемая в процессе работы электронная машина состоит из 200000 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ=0,2 * 10^-6 1/час. Требуется определить вероятность безотказной работы электронной машины в течении t = 24 часа и среднее время безотказной работы электронной машины.

Задача 3.10. Система управления состоит из 6000 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ_ср. = 0,16*10^-6 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течении t = 50 час и среднее время безотказной работы.

Задача 3.11. Прибор состоит из n = 5 узлов. Надежность узлов характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t , которая равна: P₁(t)=0,98; P₂(t)=0,99; P₃(t)=0,998; P₄(t)=0,975; P₅(t)=0,985. Необходимо определить вероятность безотказной работы прибора.

Задача 3.12. Система состоит из пяти приборов, среднее время безотказной работы которых равно: m_t1=83 час; m_t2=220 час; m_t3=280 час; m_t4=400 час; m_t5=700 час . Для приборов справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы системы.

Задача З.1З. Прибор состоит из пяти блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока в течение времени t = 50 час равна: P₁(50)=0,98; P₂(50)=0,99; P₃(50)=0,998; P₄(50)=0,975; P₅(50)=0,985. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы прибора.

Практическое занятие №4 расчет надежности системы с постоянным резервированием Теоретические сведения

При постоянном резервировании резервные элементы 1,2,.... соединены параллельно с основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается (рис .4.1.).

Вероятность отказа системы q_c(t) определяется формулой

(4.1)

где q_j(t) - вероятность отказа j - го элемента .

Вероятность безотказной работы системы

(4.2)

где Р_j(t) - вероятность безотказной работы j - го элемента.

Если Р_j(t) =Р(t), j = 0, 1, . . . , m , то

(4.3)

При экспоненциальном законе надежности отдельных элементов имеем

(4.4)

Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из последовательного соединения n элементов. Схема общего резервирования показана на рис.4.2. Основная цепь содержит n элементов. Число резервных цепей равно m, т. е. кратность резервирования равна m.

Определим количественные характеристики надежности системы с общим резервированием (резервные цепи включены постоянно).

Запишем вероятность безотказной работы j - ой цепи

(4.5)

где Р_ij(t), j=0,1,2,...m; i=1,2,3,...,n - вероятность безотказной работы элемента Э_ij.

Вероятность отказа j - ой цепи

. (4.6)

Вероятность отказа системы с общим резервированием

. (4.7)

Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием

. (4.8)

Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую надежность, т.е.

Р_ij(t)=P_i(t) . (4.9)

Тогда

(4.10)

(4.11)

Рассмотрим экспоненциальный закон надежности, т. е.

P_i(t)=e^-it . (4.12)

В этом случае формулы (5.10), (5.11) примут вид

q_c(t)=(1-e^-0t)^m+1, (4.13)

P_c(t)=1-(1-e^-0t)^m+1, (4.14)

, (4.15)

где ₀ - интенсивность отказов цепи, состоящей из n элементов.

Частота отказов системы с о6щим резервированием

. (4.16)

Интенсивность отказов системы с общим резервированием

(4.17)

Среднее время безотказной работы резервированной системы

, (4.18)

где Т₀ = 1/₀ - среднее время безотказной работы нерезервированной системы.

Решение типовых задач

Задача 4.1. Система состоит из 10 равно надежных элементов, среднее время безотказной работы элемента m_t = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равно надежны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы m_tc, а также частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов λ_с(t) в момент времени t = 50 час в следующих случаях:

а) нерезервированной системы,

б) дублированной системы при постоянно включенном резерве.

Решение.

а) ,

где λс - интенсивность отказов системы; λ_i - интенсивность отказов i - го элемента ; n = 10.

λ _i=1/m_ti = 1/1000=0,001; i = 1,2, . . .,n ; =_i;

λ _c=0,001*10=0,01 1/час;

m_tc=1/ λ_c=100 час;

f_c(t)= λ_c(t) P_c(t);

P_c(t)=e^-λct;

f_c(50)= λ_ce^-λct=0,01*e^{-0,01*506*10-3} 1/час;

λ_c(50)=0,01 1/час.

б) ; m=1 ; час ;

; λ₀ = λ_c=0.01 1/час ;

;

;

;

f_c(50)=4.810^-3 1/час ; λ_c(50)=5.710^-3 1/час .

Задача 4.2. В системе телеуправления применено дублирование канала управления. Интенсивность отказов канала λ=10^-2 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы системы Р_с(t) при t=10 час, среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов λ _с(t) системы.

Решение. В данном случае n=1; _i= ; ₀=n=;m=1. По формуле (4.14) имеем

Р_с(t)=1-(1-e^-t)²;

Р_с(10)=1-(1-e^-0,1)² .

e^-0,1=0,9048 .

Тогда

Р_c(10)=1-(1-0,9048)² =1-0,095221-0,01=0,99 .

Определим m_tс. Из формулы (4.4) имеем

час .

Определим частоту отказов f_c(t). Получим

Определим интенсивность отказов _с(t). Имеем

3адача 4.З. Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы системы Р_с(t) = 0,9 при t =10 час., необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов.

Решение. Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и равно надежных элементах равна

P_c(t)=1-(1-e^-nt)²

или

P_c(t)=1-[1-Pⁿ(t)]²,

где

P(t)=e^-t .

Здесь Р(t) - вероятность безотказной работы одного элемента.

Так как должно быть

1-[1-Pⁿ(t)]²0,9,

то

.

Разложив по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего порядка малости, получим

Учитывая, что P(t)= ехр (-t)1-t , получим

1-t1-6,32*10^-5

или

(6,32*10^-5)/t=(6,32*10^-5)/10=6,32*10^-6 1/час.

Задачи для самостоятельного решения

3адача 4.1. Приемник состоит из трех. блоков: УВЧ, УПЧ и УНЧ. Интенсивности отказов этих блоков соответственно равны: λ₁= 4∙10^-4 1/час; λ₂= 2,5∙10^-4 1/час; λ₃= 3∙10^-4 1/час. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы приемника при t=100 час для следующих случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется общее дублирование приемника в целом.

Задача 4.2. В радиопередатчике, состоящем из трех равно надежных каскадов ( n = 3) применено общее постоянное дублирование всего радиопередатчика. Интенсивность отказов каскада равна λ=5∙10^-4 1/час. Определить P_c(t), m_tc, f_c(t), λ_c(t) радиопередатчика с дублированием.

Задача 4.3. Радиоэлектронная аппаратура состоит из трех блоков I, II, III . Интенсивности отказов этих трех блоков соответственно равны: λ₁, λ ₂, λ ₃. Требуется определить вероятность безотказной работы аппаратуры P_c(t) для следующих случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется дублирование радиоэлектронной аппаратуры в целом.

Задача 4.4. Нерезервированная система управления состоит из n = 4000 элементов. Известна требуемая вероятность безотказной работы системы Р_с(t) = 0,9 при t = 100 час. Необходимо рассчитать допустимую среднюю интенсивность отказов одного элемента, считая элементы равно надежными, для того чтобы приближенно оценить достижение заданной вероятности безотказной работы при отсутствии профилактических осмотров в следующих случаях: а) резервирование отсутствует ; б) применено общее ду6лирование.

Задача 4.5. Устройство обра6отки состоит из трех одинаковых блоков. Вероятность безотказной ра6оты устройства Р_y(t_i) в течение ( 0, t_i) должна быть не менее 0,9. Определить, какова должна быть вероятность безотказной работы каждого блока в течение ( 0, t_i ) для случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется пассивное общее резервирование с неизменной нагрузкой всего устройства в целом; в) имеется пассивное раздельное резервирование с неизменной нагрузкой по блокам.