Материал: Надежность технических систем и техногенный риск. практикум. Вялова Е.П., Ильина Н.В

Задача 1.11. На испытание поставлено 1000 изделий. За время t=1300 час. вышло из строя 288 штук изделий. За последующий интервал времени 1300-1400 час. вышло из строя еще 13 изделий. Необходимо вычислить p*(t) при t=1300час.

и t=1400 час.; f*(t), *(t) при t =1300 час.

Задача 1.12. На испытание поставлено 45 изделий. За время t=60 час. вышло из строя 35 штук изделий. За последующий интервал времени 60-65 час. вышло из строя еще 3 изделия. Необходимо вычислить p*(t) при t=60час. и t=65 час.; f*(t), *(t) при t =60 час.

Задача 1.13. В результате наблюдения за 45 образцами радиоэлектронного оборудования, которые прошли предварительную 80-часовую приработку, получены данные до первого отказа всех 45 образцов, сведенные в табл.1.2. Необходимо определить m_t*.

Таблица 1.2

Задача 1.14. На испытание поставлено 8 однотипных изделий. Получены следующие значения ti (ti - время безотказной работы i-го изделия):

t1 =560час.; t2=700час.; t3 =800час.; t4=650час.; t5=580час.; t6=760час.; t7=920час.; t8=850час. Определить статистическую оценку среднего времени безотказной

работы изделия.

Задача1.15. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зарегистрировано 6 отказов. Время восстановления составило: t1 =15мин.; t2=20мин.; t3 =10мин.; t4=28мин.; t5=22мин.; t6=30мин.

Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры .

Задача1.16. На испытание поставлено 1000 изделий. За время t=11000 час.

вышло из строя 410 изделий. Зв последующий интервал времени 11000-12000 час. вышло из строя еще 40 изделий. Необходимо вычислить p*(t) при t=11000 час. и t=12000 час., а также f*(t), *(t) при t=11000 час.

Практическое 3анятие № 2 аналитическое определение количественных характеристик надёжности изделия Теоретические сведения

В ыпишем формулы, по которым определяются количественные характеристики надежности изделия

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

где p(t) - вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от 0 до t; q(t) - вероятность отказа изделия на интервале времени от 0 до t; f(t)-частота отказов изделия или плотность вероятности времени безотказной работы изделия Т;

(t)- интенcивность отказов изделия; m_t - среднее время безотказной работы изделия.

Формулы (2.1) - (2.5) для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы изделия примут вид

Формулы (2.1) - (2.5) для нормального закона распределения времени безотказной работы изделия примут вид

где Ф(U) - функция Лапласа, обладающая свойствами

Ф(0)=0 ; (2. 15)

Ф(-U) =-Ф(U) ; (2.16)

Ф()=0.5 . (2.17)

Значения функции Лапласа приведены в приложении П.7.13 [ 1 ] .

Значения функции (U) приведены в приложении П.7.17 [ 1 ].

Здесь m_t - среднее значение случайной величины Т; _t² - дисперсия случайной величины Т; Т- время безотказной работы изделия.

Формулы (2.1) - (2.5) для закона распределения Вейбулла времени безотказной работы изделия имеют вид

где a, k - параметры закона распределения Вейбулла. Г (x) - гамма-функция, значения которой приведены в приложении П.7.18 [ 1 ].

Формулы (2.1) - (2.5) для закона распределения Релея времени безотказной работы изделия имеют вид

где _t – мода распределения случайной величины Т; Т – время безотказной работы изделия.

Решение типовых задач

Задача 2.1. Время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром =2.510^-5 1/час.

Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента p(t),q(t),f(t),m_t для t=1000час.

Решение. Используем формулы (2.6), (2.7), (2.8), (2.10) для p(t),q(t),f(t),m_t .

1. Вычислим вероятность безотказной работы:

.

Используя данные таблицы П.7.14 [ 1 ] получим

.

2. Вычислим вероятность отказа q(1000). Имеем

q(1000)=1-p(1000)=0.0247 .

3. Вычислим частоту отказов

; 1/час.

4. Вычислим среднее время безотказной работы

час.

Задача 2. 2. Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с параметрами m_t =8000 час, _t =2000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности p(t),f(t),(t),m_t для t=10000 час.

Решение. Воспользуемся формулами (2.11), (2.12), (2.13),(2.14) для p(t), f(t), (t),m_t.

1. Вычислим вероятность безотказной работы

p(t)=0.5Ф(U) ; U=(t-m_t)/_t ;

U=(10000-8000)/2000=1; Ф(1)=0.3413 ;

p(10000)=0.5-0.3413=0.1587. 2. Определим частоту отказа f(t)

.

Введем обозначение

.

Тогда

f(t)=(U)/_t ; U=(t-m_t)/_{t ;}

f(1000)=(1)/2000=0.242/2000=12.110^-5 1/час.

3. Рассчитаем интенсивность отказов (t)

(t)=f(t)/p(t);

(10000)=f(10000)/p(10000)=12.110^-5 /0.1587=76.410^-5 1/час.

4. Среднее время безотказной работы элемента

m_t = 8000 час.

Задача 2.3. Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),(t),m_t для t=1000час ,если параметр распределения _t=1000 час.

Решение. Воспользуемся формулами (2.23), (2.25), (2.27),(2.26) для p(t),f(t),

m_t ,(t).

1. Вычислим вероятность безотказной работы p(t)

2. Определим частоту отказа f(t)

f(t)=tp(t)/_t² ;

f(1000)=10000.606/1000²=0.60610^-3 1/час.

3. Рассчитаем интенсивность отказов

(t)= t/_t ² ;

(1000)=1000/1000² =10^-3 1/час.

4. Определим среднее время безотказной работы изделия

час.

Задача 2.4. Время безотказной работы изделия подчиняется закону Вейбулла с параметрами k=1.5; a=10^-4 1/час, а время работы изделия t=100 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),(t),m_t .

Решение. 1. Определим вероятность безотказной работы p(t) по формуле (2.18) . Имеем

p(t)=exp(-at^k ); p(100)=exp(-10^-4 100^1.5 ); x=100^1.5 ;

lg x=1,5lg 100=3; x=1000; p(100)=e^-0,1 =0,9048.

2. Определим частоту отказов f(t)

f(t)=akt^k-1 p(t);

f(100)=10^-4 1,5100^0,5 0,90481,3510^-3 1/час.

3. Определим интенсивность отказов (t)

(t)=f(t)/p(t) ;

(100)=f(100)/p(100)=1,3510^-3 /0.90481,510^-3 1/час.

4. Определим среднее время безотказной работы изделия m_t

.

Так как zГ(z)=Г(z+1), то

;

x=10^-2,666 ; lg x=-2,666lg10=-2,666= ; x=0,00215.

Используя приложение П.7.18 [1], получим

m _t =0,90167/0,00215=426 час.

Задача 2.5. В результате анализа данных об отказах аппаратуры частота отказов получена в виде

.

Требуется определить количественные характеристики надежности: p(t), (t),m_t.

Решение. 1. Определим вероятность безотказной работы. На основании формулы (2.1) имеем

Вычислим сумму С₁+ С₂ Так как , то

.

Тогда