Материал: Надежность технических систем и техногенный риск. практикум. Вялова Е.П., Ильина Н.В

+b₁b₃+b₂b +b₂a +b₁b₂+b₁b =26²+21+6² ,

A₃=a₁a₂a₃+a₁a₂b₃+a₁a₂b +a₁a₃b +a₁a₃a +a₁b₂b₃+a₁b₃b +a₁b₃a +a₁b₂b +a₁b₂a +

+a₂a₃b +a₂b₃b +a₃b b₁+b₂b₃b +b₂b₃a +b₁b₂b +b₁b₂b +b₁b₃b =

=24³+36²⁺¹⁷²+4² ,

A₄=a₁a₂a₃b +a₁a₂b₃b +a₁b₂b₃b +a₁b₂b₃a +b₁b₂b₃b =16³+12²²+4³+⁴ .

В нашем случае k=5, а число отказавших устройств в состоянии 2^/ равно 2 и в состоянии 3 равно 3. Тогда полином ₂^/(s) будет иметь степень n₂^/=k-1-l =5-1-2=2, а полином ₃(s) будет иметь степень n₃=k-1-l₃=5-1-3=1, т.е.

На основании сформулированного выше правила коэффициенты

могут быть найдены непосредственно из коэффициентов А₂, А₃, А₄, если в последних оставить только те члены, в которых присутствуют произведения а₁a , т.е.

Для определения коэффициентов В₀⁽³⁾, В₁⁽³⁾ на основании правила необходимо в коэффициентах А₃, А₄ оставить только те члены, в которых присутствуют произведения а₁а₂а₃. В данном случае В₀⁽³⁾=а₁а₂а₃=16³, В₁⁽³⁾=а₁а₂а₃b =16^3.

Подставив в выражение для К_П(s) полиномы и вычисленные значения коэффициентов, получим

,

.

Определим t_в. Так как система имеет два отказовых состояния (см. рис. 10.6), а интенсивности переходов из этих состояний в соседние одинаковы, т.е. b₃=b =, то

t_В=1/.

Величина t_ср определяется по формуле (10.12). Определим финальные вероятности Р₀, Р₁, Р , Р₂, Р₃. Имеем

Определим n_i, i=0,1,2 по формуле (10.10). Получим

n₀=k-1-l₀; n₁=k-1-l₁; n₂=k-1-l₂,

где l_i - количество отказзавших элементов в состоянии i.

Так как l₀=0, l₁=1, l₂=2, то n₀=4, n₁=3, n₂=2. Следовательно

Будем определять Р₀, Р₁, Р₂ по формуле (10.21). Имеем

Найдем В₄⁽⁰⁾, В₃⁽¹⁾, В₂⁽²⁾. В₂⁽²⁾ может быть получено из коэффициента А₄, если в нем оставить только те члены, в которых присутствуют произведения а₁а₂, т.е.

В₂⁽²⁾=а₁а₂b₃b =8²².

Для определения коэффициента В₃⁽¹⁾ необходимо в коэффициенте А₄ оставить только те члены, в которых присутствует а₁, т.е.

В₃⁽¹⁾=а₁b₂b₃b =4³.

Определим коэффициент В₄⁽⁰⁾. Имеем

В₄⁽⁰⁾=b₁b₂b₃b =⁴.

Окончательно получим

Задача 10.3. Условие задачи совпадает с условием задачи 10.2. Используя граф состояний задачи 10.2, требуется: 1)определить К_П, К_Г; 2) определить финальные вероятности для всех состояний графа; 3) определить t_В, t_ср.

Решение. Граф состояний системы приведен на рис. 10.6. Система имеет два отказовых состояния - 2^' и 3. Состояния 0, 1, 2 соответствуют исправному состоянию системы.

Учитывая формулы (10.19), (10,5), получим

Финальные вероятности Р_i, i = 0, 1, 2, 2^/, 3 будем определять по формуле (10.22). В нашем случае k=5. Число отказавших устройств в состоянии 2^/ равно 2, в состоянии 3 - 3, в состоянии 0 - 0, в состоянии 1 - 1, в состоянии 2 - 2. Следовательно

l =2; l₃=3; l₀=0; l₁=1; l₂=2.

Определим n_i, i = 2^/, 3, 0, 1, 2 по формуле (10.10). Получим

n =k-1-l =5-1-2=2;

n₃=k-1-l₃=5-1-3=1;

n₀=k-1-l₀=5-1-0=4;

n₁=k-1-l₁=5-1-1=3;

n₂=k-1-l₂=5-1-2=2.

Для определения Р_i, i = 0, 1, 2, 2^/, 3 запишем соотношения

Найдем коэффициент А₄ по установленному правилу. В данном случае, как видно из графа состояний, в коэффициенте А₄ будут отсутствовать члены, содержащие произведения вида а₁b₁, a₂b₂, a₃b₃, a b , a₂b₁, a₃b₂, a b₁, a₂a . Тогда

А₄=a₁a₂a₃b +a₁a₂b₃b +a₁b₂b₃b +a₁b₂b₃a +b₁b₂b₃b =

=16³⁺¹²²²+4³+⁴.

Коэффициент В₁⁽³⁾ на основании сформулированного выше правила может быть найден из коэффициента А₄, если в нем оставить только те члены, в которых присутствуют произведения а₁а₂а₃. В данном случае В₁⁽³⁾=а₁а₂а₃b =16^3. Коэффициент находится из коэффициента А4, если в нем оставить только те члены, в которых присутствуют произведения а₁а , т.е. В₂⁽²⁾ может быть получено из коэффициента А₄, если в нем оставить только те члены, в которых присутствуют произведения а₁а₂, т.е. В₂⁽²⁾=а₁a₂b₃b =8²². Для определения коэффициента В₃⁽¹⁾ необходимо в коэффициенте А₄ оставить только те члены, в которых присутствует а₁, т.е. В₃⁽¹⁾=а₁b₂b₃b =4³. Определим коэффициент В₄⁽⁰⁾ . Имеем B₄⁽⁰⁾=b₁b₂b₃b =⁴. Окончательно получим

Определим К_П и К_Г. Имеем

Определим t_В. Так как система имеет два отказовых состояния, а интенсивности переходов из этих состояний в соседние одинаковы, т.е. b =b₃=, то t_В=1/.

Величина t_ср определяется по формуле (10.12).

Определим К_П, К_Г, P_i, i = 0, 1, 2, 2^', 3 с использованием формул (10.23), (10.24). Имеем

Т₀=b₁b₂b₃b =⁴; T₁=a₁b₂b₃b =4³; T₂=a₁a₂b₃b =8²²; T₃=a₁a₂a₃b =16^{3; T =a}₁b₂b₃a =4²².

A₄=T₀+T₁+T₂+T +T₃;

В рассматриваемом примере число узлов k=5, число отказовых состояний m=2, число исправных состояний r=3. Тогда

Задача 10.4. На схеме расчета надежности нерезервированной вычислительной машины приняты обозначения: n - число элементов (устройств) системы; _i - интенсивность отказов i-го элемента (i = 1, 2,..., n); _i - интенсивность восстановления i-го элемента. Требуется: 1) построить граф состояний вычислительной машины; 2) определить вероятность безотказной работы P(t), среднее время безотказной работы T; 3) определить наработку на отказ t_ср; 4) определить коэффициент готовности К_Г; 5) определить среднее время восстановления вычислительной машины.

Решение. Введем в рассмотрение состояния 0, 1, 2, ..., n, т.е. k=n+1. Состояние 0 означает, что вычислительная машина исправна. Состояние i, i = 1, 2,...,n означает, что отказал i-ый элемент вычислительной машины, вычислительная машина неисправна. Таким образом, состояния i (i = 1, 2,...,n) - отказовые. Машина в i-ое отказовое состояние может попасть с интенсивностью отказа i-го элемента, т.е. _i, и может быть восстановлена (возвращена в состояние 0) с интенсивностью . Граф состояний вычислительной машины приведен на рис. 10.8. Так как вероятность Р(t) и среднее время Т безотказной работы характеризуют поведение ЦВМ до 1-го отказа, то для их определения в графе состояний необходимо запретить переходы из отказовых состояний в исправное состояние. Тогда

T=1/_ct,

где

.

Для определения К_Г воспользуемся формулой (10.23). В данном случае k=n+1; m=n; r=k-m=1. Определим Т₀, Т₁, Т₂,...,Т_m. Имеем

Из (10.23) получим

Подставим в последнюю формулу Т_i, i = 0, 1, 2,..., n. Имеем

или

Определим финальные вероятности с использованием формулы (10.24). Получим

.............................................................................

Определим t_ср по формуле (10.20). Имеем

i=2,3,...,n;

или

где t_cp - наработка на отказ системы (математическое ожидание времени между соседними отказами восстанавливаемой системы).

Определим среднее время восстановления t_В с использованием формулы (10.18). Получим

или

где t_Bi - cреднее время восстановления i-го элемента (устройства).

Полученные соотношения позволяют сделать следующие выводы:

а) среднее время безотказной работы и наработка на отказ неизбыточной ЦВМ совпадают;

б) коэффициент готовности машины не равен произведению коэффициентов готовности отдельных устройств, это объясняется тем, что отказы устройств восстанавливаемой ЦВМ нельзя считать независимыми;

в) среднее время восстановления машины зависит не только от средних времен восстановления устройств, но также от их интенсивностей отказов. В общем случае среднее время восстановления не равно среднеарифметическому от средних времен восстановления устройств.