Материал: Надежность технических систем и техногенный риск. практикум. Вялова Е.П., Ильина Н.В

Дополнив систему уравнений нормировочным условием (9.7), при t имеем

P₀ + P₁ = 0 ,

P₀ ( + )P₁ + P₂ = 0 ,

P₁ P₂ = 0 ,

P₀ + P₁ + P₂ = 1 .

Совместное решение 1-го, 2го и 4-го уравнений системы дает следующий результат

где .

Поскольку μ/λ=1 по условиям задачи, то, подставив это значение в формулы вероятностей состояний системы, получим P₀ = P₁ = P₂ = 0,3333 , поэтому K = P₀ + P₁ = 0,6666 , K = P₂ = 1 K = 0,3333

Задача 9.4. Преобразователь “параметр-код” состоит из рабочего блока и блока в ненагруженном резерве. Распределения времен между отказами и восстановления показательные с параметрами = 810³ 1/час , = 0,8 1/час . Требуется определить значения коэффициентов простоя и во сколько раз уменьшается величина коэффициента простоя преобразователя при применении неограниченного восстановления по сравнению с ограниченным.

Решение. Для определения значений коэффициентов простоя для случаев ограниченного и неограниченного восстановления воспользуемся соответственно выражениями (9.8) и (9.9). Число возможных состояний равно трем.

Для ограниченного восстановления

Для неограниченного восстановления

Для рассматриваемой задачи справедливо соотношение μ>>λ , и полученные выражения могут быть с достаточной для практики точностью определены приближенно:

Таким образом, при применении неограниченного восстановления по сравнению с ограниченным величина коэффициента простоя уменьшилась в два раза. Значения этих коэффициентов равны:

K_ПО =10⁴ ; K_ПН. =0,5∙10⁴ .

Задача 9.5. Радиоприемное устройство, состоящее из рабочего блока и блока в нагруженном резерве, рассчитано на непрерывную круглосуточную работу. Через три часа после включения это устройство может получить команду на перестройку режима работы. Интенсивность отказов и восстановления каждого блока равны λ= 8∙10^-3 1/час ; μ= 0,2 1/час . Имеются две дежурные ремонтные бригады. Определить вероятность застать радиоприемное устройство в неработоспособном состоянии через три часа после включения (значение функции простоя) и значение коэффициента простоя.

Решение. Радиоприемное устройство в любой момент времени может находиться в одном из следующих состояний:

0 - оба блока работоспособны;

1 - один блок неработоспособен;

2 - оба блока неработоспособны;

При нахождении в состояниях 0 и 1 устройство работоспособно, в состоянии 2 - устройство неработоспособно. Схема состояний устройства с соответствующими интенсивностями переходов представлена на рис.9.10. Система дифференциальных уравнений, составленная по этой схеме, имеет вид

2P₀(t) + P₁(t) ;

2P₀(t) ( +)P₁(t) + 2P₂(t) ;

P₁(t) 2P₂(t) .

Для определения функции простоя решим эту систему при начальных условиях P₀(0) = 1 ; P₁(0) = P₂(0) = 0 . Переходя к изображениям, получаем систему алгебраических уравнений:

(s + 2)P₀(s) P₁(s) = 1 ;

2P₀(s) + (s + + )P₁(s) 2P₂(s) = 0 ;

P₁(s) + (s + 2)P₂(s) = 0 .

Для получения величин P_i(s) используем правило Крамера

где определитель, элементами которого являются коэффициенты при P₀(s) , P₁(s) , P₂(s) ; _i определитель, который образуется из путем замены iго столбца коэффициентами правой части системы.

В рассматриваемом случае требуется определить функцию простоя, равную P₂(t) . Для этого запишем определители и ₂ :

Следовательно

Найдем корни уравнения

s² + 3( + )s + 2( + )² = 0 .

Имеем

=0,53( + ) ( + ) .

Следовательно, s₁ = 2( + ) ; s₂ = ( + ) .

Запишем P₂(s) в виде

Определим A , B , C . Имеем

Производя обратное преобразование Лапласа P₂(t) = L¹{P₂(s)} ,

получим

P₂(t) = A1(t) +

Так как

,

то

Используя это выражение, определяем коэффициент простоя при t

Подставляя числовые значения, получаем

K (3)= 2∙10⁴ ; K = 1,5∙10³ .

Задача 9.6. Вычислительное устройство состоит из рабочего блока и блока в ненагруженном резерве. Интенсивность отказов и восстановлений каждого блока равны λ= 2∙10^-2 1/час ; μ= 2 1/час .

При одновременной неисправности обоих блоков устройство неработоспособно. Определить среднее время безотказной работы устройства m_t .

Решение. Вычислительное устройство в любой момент времени может находиться в одном из следующих состояний:

0 - оба блока работоспособны;

1 - один блок неработоспособен;

2 - оба блока неработоспособны.

Схема состояний устройства представлена на рис.9.11. Для определения m_t сначала необходимо определить вероятность непрерывной безотказной работы в течении времени t . Система дифференциальных уравнений, полученная по схеме состояний, имеет следующий вид:

P₀(t) + P₁(t) ;

P₀(t) ( + )P₁(t) ;

P₁(t) .

Начальные условия: P₀(0) = 1 ; P₁(0) = P₂(0) = 0 .

При помощи преобразования Лапласа получаем систему алгебраических уравнений относительно изображений:

(s+)P₀(s) P₁(s) = 1 ;

P₀(s) + (s + + )P₁(s) = 0 ;

P₁(s) + sP₂(s) = 0 .

Путем решения этой системы либо подстановкой, либо по правилу Крамера получим

Раскладывая P₂(s) на элементарные дроби и производя обратное преобразование Лапласа, определяем вероятность P₂(t) попадания за время (0 , t) в состояние 2

где обозначено

Следовательно, вероятность непрерывной безотказной работы вычислительного устройства за время (0 , t) равна

Среднее время безотказной работы m_t равно

Задача 9.7. Радиолокационная станция сопровождения содержит рабочий блок и блок в нагруженном резерве. Интенсивность отказов и восстановлений каждого блока равны соответственно λ и μ. Время сопровождения в среднем составляет величину t_c . При одновременной неработоспособности обоих блоков сопровождаемая цель теряется и происходит отказ станции. При переходе на резервный блок потери цели не происходит.

Требуется определить вероятность непрерывной безотказной работы в течение времени (0 , t_c), или, иначе, вероятность непопадания в состоянии 2 на этом интервале и среднее время безотказной работы станции m_t .

Решение. Радиолокационная станция сопровождения в любой момент времени может находиться в одном из следующих состояний:

0 - оба блока работоспособны;

1 - один блок неработоспособен;

2 - оба блока неработоспособны.

Схема состояний представлена на рис.9.12. Работоспособными являются состояния 0 и 1, неработоспособным - 2. Следовательно, вероятность непопадания в состояние 2 за время t_c определяется как

(t_c) = P₀(t_c) + P₁(t_c) = 1 P₂(t_c) .

Для определения вероятности по схеме состояний составим систему дифференциальных уравнений:

2P₀(t) + P₁(t) ;

2P₀(t) ( + )P₁(t) ;

P₁(t) .

При помощи преобразования Лапласа получаем систему алгебраических уравнений относительно изображений при P₀(0) = 1 ; P₁(0) = P₂(0) = 0 :

(s + 2)P₀(s) P₁(s) = 1 ;

2P₀(s) + (s + + )P₁(s) = 0 ;

P₁(s) + sP₂(s) = 0 .

Путем решения этой системы либо подстановкой, либо по правилу Крамера, получим:

Раскладывая P₂(s) на элементарные дроби и производя обратное преобразование Лапласа, определяем вероятность попадания в состояние 2 за время (0 , t_c ):

где обозначено

Следовательно, вероятность непрерывной безотказной работы радиолокационной станции за время (0 , t_c) равна:

Для определения среднего времени безотказной работы станции m_t запишем преобразование Лапласа для вероятности безотказной работы P(s) и подставим в него s = 0 :

Задача 9.8. Станция радиорелейной связи включает два работающих приемопередающих блока и один блок в ненагруженном резерве. Наработка на отказ каждого работающего блока m_t=200 час ; среднее время восстановления одного блока m=2 час . Станцию обслуживает одна ремонтная бригада. При неработоспособности двух блоков станции третий блок выключается и в нем не могут происходить отказы. Требуется определить коэффициент простоя станции.

Решение. Возможны следующие состояния радиорелейной связи:

0 - все блоки работоспособны;

1 - неработоспособен один блок;

2 - неработоспособны два блока.

При неработоспособности одного блока блок из ненагруженного резерва переводится в рабочее состояние. Работоспособными являются состояния 0 и 1, неработоспособным - состояние 2.

Обозначим вероятности указанных состояний в момент времени t через P₀(t) , P₁(t) , P₂(t) . Эти вероятности при t имеют пределы P₀ , P₁ , P₂ . В рассматриваемом случае K = P₂ , т.к. состояние 2 является неработоспособным.

Составим схему состояний (рис.9.13.) и соответствующую этой схеме систему уравнений

2P₀(t) + P₁(t) ;

( + 2)P₁(t) + 2P₀(t) + P₂(t) ;

2P₁(t) P₂(t) .

Для определения установившегося значения P₂ положим все производные равными нулю. Учитывая, что P₀(t) + P₁(t) + P₂(t) =1 ,

получаем

2P₀ + P₁ = 0 ;

2P₀ ( + 2)P₁ + P₂ = 0 ;

P₀ + P₁ + P₂ = 1 .

Для получения величины P₂ используем правило Крамера:

где