W = 2i kT =10,5 10−21 Дж .
Несмотря на равенство энергий поступательного движения, средние квадратичные
скорости молекул азота и гелия, вычисляемые по формуле |
||
vкв = |
3kT , |
(2) |
m0 |
||
где m0 – масса одной молекулы, будут различными. Если и числитель, и знаменатель подкоренного выражения (2) умножить на NA – число Авогадро, то получим значение
vкв = |
3RT . |
(3) |
µ |
Эта формула удобней для расчетов. Универсальная газовая постоянная в СИ имеет значение R = 8,3 Дж/(моль·К). В результате вычислений находим для гелия
vкв Не =13,6 102 мс ,
для азота
vкв N 2 = 5,18 102 мс .
Задача 7
Рассчитать полную энергию всех молекул кислорода, занимающего при давлении p = 2·105 Н/м2 объем V = 30 л.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Полная энергия всех молекул любого идеального газа может быть найдена как произведение средней энергии на общее число молекул
W = |
i |
kT N . |
(1) |
||
2 |
|||||
Число N, если известна масса газа, равно |
|||||
N = |
m |
N A . |
(2) |
||
µ |
|||||
Подставляя формулу (2) в выражение (1) и учитывая, что
kN A = R ,
получим
W = |
i |
m RT . |
(3) |
2 µ |
|||
Но согласно уравнению Клапейрона-Менделеева
mµ RT = pV ,
следовательно,
W = 2i pV =1,5 104 Дж .
(для кислорода i = 5).
Задача 8
Сосуд, содержащий некоторую массу газа, движется со скоростью и. Насколько увеличится средний квадрат скорости теплового движения молекул при остановке сосуда в случаях: а) одноатомного газа; б) двухатомного газа? Теплоемкость и теплопроводность стенок сосуда пренебрежимо малы.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Изменение среднего квадрата скорости может быть рассчитано по изменению средней кинетической энергии теплового движения.
При сравнении выражения полной средней энергии одной молекулы
W = |
i |
kT |
||||||||||||
2 |
||||||||||||||
и выражения средней энергии ее поступательного движения |
||||||||||||||
W пост = |
m |
0 |
v2 |
= |
3 |
kT , |
||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||
получим |
||||||||||||||
m |
0 |
v2 |
= |
3 |
W , |
(1) |
||||||||
2 |
i |
|||||||||||||
следовательно, |
||||||||||||||
m0 (∆v)2 |
3 |
|||||||||||||
= i ∆W . |
(2) |
|||||||||||||
2 |
||||||||||||||
Здесь ∆W – изменение средней энергии одной молекулы массой m0 в результате оста-
новки сосуда. Таким образом, задача сводится, по существу, к нахождению изменения ∆W средней энергии.
В движущемся сосуде каждая молекула участвует одновременно в тепловом хаотическом движении со скоростью v и направленном со скоростью и. Скорость и кинетическая энергия результирующего движения любой молекулы соответственно равны
c = v + u , |
(3) |
|||||||||
m |
c2 |
= |
m |
v2 |
+ |
m |
u2 |
+ m0uv . |
(4) |
|
0 |
0 |
0 |
||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||
Для нахождения средней кинетической энергии поступательного движения выражение (4) следует просуммировать по всем молекулам и разделить затем на общее число молекул. Вследствие хаотичности теплового движения, т. е. полной равноправности всех направлений для вектора v; слагаемое uv при суммировании по всем молекулам обратится в нуль, и средняя энергия поступательного движения может быть записана
так: |
|||||||||||
m |
c2 |
= |
m |
v2 |
+ |
m |
u2 |
. |
(5) |
||
0 |
0 |
0 |
|||||||||
2 |
2 |
2 |
|||||||||
Тогда полную среднюю энергию одной молекулы газа в движущемся сосуде можно представить в виде суммы средней энергии теплового движения (в это понятие теперь включается энергия вращательного и поступательного движений) и энергии направленного движения:
W рез =W + |
m |
u2 |
, |
(6) |
||
0 |
||||||
2 |
||||||
где W – средняя энергия теплового движения, равная, как обычно, |
i |
kT . |
||||
2 |
||||||
Таким образом, в данном случае хаотичность теплового движения молекул обеспечивает аддитивность кинетической энергии теплового и направленного движений. При остановке сосуда кинетическая энергия направленного движения перейдет в кинетиче-
скую энергию теплового движения и искомое изменение энергии |
|||||
∆W = |
m |
u 2 |
|||
0 |
. |
(7) |
|||
2 |
|||||
Подставляя выражение (7) в формулу (2), найдем
∆v2 = 3i u2 .
Для одноатомного газа i = 3, ∆v2 = u2 ; для двухатомного газа i = 5, ∆v2 = 0,6u2 .
То, что изменение среднего квадрата скорости теплового движения для одноатомного газа будет больше, чем для двухатомного, можно было выяснить на основании качественных рассуждений и до решения задачи.
Задача 9
Найти массу воздуха и полную энергию молекул воздуха, заключенного в пространстве между оконными рамами (S = 2 м2, l = 0,25 м) при атмосферном давлении, если температура линейно меняется от t1 = –10°C у наружного стекла до t1 = +10°C у внутреннего.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Для простоты решения задачи рассмат- T1 риваемый объем разбиваем на достаточно тонкие слои толщиной dx, внутри которых газ находится в состоянии термодинамического равновесия. Этим самым предполагается, что внутри каждого такого слоя распределение молекул по скоростям можно принять
максвелловским. Каждый слой характеризу-
Рис. 32
ется своей средней квадратичной скоростью молекул и температурой Т, зависящей от положения слоя (рис. 32).
Так как температура линейно меняется с расстоянием х, то
T (x) = T1 +αx . |
(1) |
где коэффициент α находится из начального условия |
|
T2 = T (l) = T1 +αl |
(2) |
и является градиентом температуры. |
Концентрация газа также будет являться функцией от х, так как давление, одинако-
вое всюду в газе, связано с концентрацией и температурой соотношением |
|
p = n0 kT . |
(3) |
Масса газа dm, заключенного в слое толщиной dx, равна |