относительное число молекул может быть приближенно найдено по формуле
∆N |
4 |
v2 |
e |
−v2 / vB2 ∆v |
||
N = |
π |
vв2 |
vв |
, |
(2) |
где
∆v = v2 − v1 , v = v1 +2 v2 .
В первом случае скорости молекул должны лежать в интервале от (vв – 10) м/с до
(vв + 10) м/с. Это значит, что
∆v = 20 |
м ; |
|
с |
||
v = vв = |
2RT . |
|
µ |
||
При t1 = 27°C vв1 = 15,8·102 м/с; при t2 = 227°C vв2 = 20,4·102 м/с.
Подставляя найденные значения наиболее вероятной скорости в формулу (2) и учитывай, что v = vв, получим
∆N1 |
= |
4 |
e−1 0,2 |
=1,0% ; |
N |
π |
15,8 |
||
∆N2 |
= |
4 |
e−1 0,2 |
= 0,81% . |
N |
π |
20,4 |
Таким образом, с увеличением температуры число молекул, скорости которых лежат вблизи наиболее вероятной, уменьшается.
Во втором случае надо найти относительное число молекул, скорости которых лежат в пределе от v до v + ∆v, где
v = 40 102 мс ;
∆v = 0,2 102 мс .
При t1 = 27°C
v2 |
= 6,4 ; e− |
v2 |
|
vв2 |
=1,7 10−3 ; |
||
vв2 |
∆N 3 = |
4 |
6,4 1,7 10 |
−3 |
0,2 |
= 0,03% . |
||
N |
π |
15,8 |
|||||
При t2 = 227°C |
|||||||
2 |
|||||||
v2 |
= 3,8 ; e−vvв2 = 2,7 10−2 ; |
||||||
vв2 |
|||||||
∆N4 |
= |
4 |
3,8 2,7 10 |
−2 |
0,2 |
= 0,23% . |
|
N |
π |
20,4 |
|||||
Таким образом, число молекул, скорости которых велики, т. е. v > vв с возрастанием температуры увеличивается.
Если проделать подобный расчет для интервала от v до v ± ∆v, где v < vв то мы по-
лучили бы, что с ростом температуры относительное число молекул, скорости которых лежат в указанном интервале, будет уменьшаться. Это значит, что максимум кривой максвелловского распределения (рис. 33) будет с ростом температуры уменьшаться и смещаться вправо; для v < vв кривая, соответствующая большей температуре, пойдет выше первоначальной.
T1 < T2
Рис. 33
Задача 11
При опытном определении числа Авогадро по методу Перрена было найдено, что при увеличении высоты наблюдаемого слоя жидкости на величину h =13 мкм концентрация частичек гуммигута уменьшается вдвое. Найти радиус частичек, если температура опыта t = 17°C, плотность гуммигута ρ = 1,2·103 кг/м3, плотность жидкости (сла-
бый спиртовой раствор) ρ1 = 0,9·103 кг/м3.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Мелкие частички, взвешенные в жидкости или в газе, ведут себя подобно молекулам, поэтому изменение их концентрации с высотой подчиняется распределению Больцмана:
n = n0 e |
− U |
(1) |
kT , |
где п – концентрация на высоте h; U – потенциальная энергия на высоте h; n0 – концентрация на высоте h = 0, принимаемой за начало отсчета потенциальной энергии.
Потенциальная энергия одной частички на высоте h может быть записана как |
|
U =V ( ρ − ρ1 )gh , |
(2) |
где V – объем одной частички.
Поставляя в равенство (1) логарифм отношения nn0 , равного по условию задачи двум, и выражение (2) для потенциальной энергии, получим
V = |
kT ln 2 |
= 72,5 10−21 м3 . |
(3) |
|||
( ρ − ρ |
1 |
)gh |
||||
Рассматривая каждую частичку гуммигута как правильный шар искомого радиуса r, найдем r = 2,58·10-7 м.
Необходимо указать студентам на то, что распределение Больцмана не зависит от уровня, выбираемого за начало отсчета для потенциальной энергии.
Задача 12
Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при температуре t = 17°C и давлении p = 1 атм, если эффективный диаметр d молекул воздуха можно принять равным 3·10-8 см.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Средняя длина свободного пробега может быть непосредственно рассчитана по формуле
λ = |
1 |
|
2πd 2 n0 . |
(1) |
Если концентрацию n0 молекул выразить как отношение
n0 = kTp ,
то при подстановке получим
λ = |
kT |
=10−5 см . |
2πd 2 p |
После расчета следует разобрать, как будет меняться длина свободного пробега в зависимости от температуры и давления в различных процессах при условии, что эффективный диаметр предполагается постоянным. Полученные результаты удобно занести в таблицу:
V = const |
p = const |
T = const |
||||
λ(p) |
const |
– |
~ |
1 |
||
p |
||||||
λ(T) |
const |
~ T |
– |
|||
λ = |
1 |
|
2πd 2 n0 . |
(2) |
|
Из условия λ =100 а и формул (1) и (2) находим |
||
n0 = ( |
2πd 2 100)−32 . |
(3) |
Подставляя числовые значения, найдем, что искомая концентрация для водорода n0 = 8,7·1024 м-3; для азота n0 = 3,5·1024 м-3.
Задача 14
Известно, что относительное число молекул, длина свободного пробега которых лежит в пределах от х до x + dx определяется формулой
x
dNN = Ae −λ0 dx ,
где А – некоторый постоянный коэффициент, λ0 – средняя длина свободного пробега. Найти коэффициент А и относительное число молекул, длина свободного пробега которых больше, чем 2λ0.
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ
Отношение dNN показывает вероятность того, что длина свободного пробега моле-
кулы лежит в пределах от х до x + dx. Вероятность того, что длина свободного пробега молекулы лежит в пределах от x1 до х2, может быть найдена интегрированием:
x |
Ae− |
x |
||
W = ∫2 |
||||
λ0 dx . |
(1) |
|||
x1 |
||||
Вероятность того, что длина свободного пробега лежит в пределах от нуля до бесконечности, обязательно равна единице:
∞∫ Ae− |
x |
||
λ0 dx =1. |
(2) |
||
0 |
|||
Произведя интегрирование, найдем значение коэффициента А, называемого обычно нормирующим множителем. (В максвелловском распределении нормирующим множи-
телем является сомножитель |
4 |
; находится он аналогично.) Итак, |
π |