скорость υ(0)= 0 . Найдите зависимость скорости тела υ от координаты x . Трение отсутствует.
5.27. Тело массой m = 4 кг движется вдоль оси X , имея в точке с координатой x1 = 2 м скорость υ1 =10 м/с. На тело действует тормозящая сила, модуль которой
меняется по закону |
F |
= |
k |
, где k =100 Н м2 . Определить скорость тела в точке с |
|||
x2 |
|||||||
координатой x2 =10 м. |
|||||||
5.28. На параллельных нитях одинаковой длины l висят два одинаковых шара так, что они соприкасаются. Один из шаров отклоняют до горизонтального положения и отпускают без толчка. Считая соударение шаров абсолютно неупругим, найти предельную высоту h, на которую поднимаются шары после удара.
5.29. Пуля ударяется с горизонтальной скоростью υ = 400 м/с в шар, подвешенный на нити длиной l = 4 м, застревает в нем. Найти угол α, на который отклонится нить подвеса шара, если масса пули m = 20 г и масса шара т1 = 5 кг. Какая доля кинетической энергии пули расходуется при неупругом ударе на нагревание и деформацию шара? На какой угол α0 отклонится нить, если соударение пули с шаром будет абсолютно упругим?
5.30.Определите соотношение масс соударяющихся шаров, один из которых до столкновения покоился, если после центрального упругого удара шары разлетаются в противоположные стороны с одинаковыми скоростями.
5.31.Частица массой m1 испытала упругое соударение с неподвижной частицей
массой m2 , в результате чего обе частицы разлетелись симметрично относительно первоначального направления движения частицы m1 . Найдите отношение масс частиц m1 / m2 , если угол между их направлениями разлета θ = 60°.
5.32. Молекула испытала соударение с другой покоившейся молекулой той же массы. Показать, что угол между направлениями их разлета после соударения равен 90° при упругом ударе и меньше 90° при неупругом ударе.
5.33. Потенциальная энергия частицы имеет вид: U = ax3 + bx2 + cz . Определите силу, действующую на частицу.
5.34. Потенциальная энергия частицы имеет вид: U = axyz. Определите силу,
действующую на частицу.
5.35. Тело находится в центральном поле (в поле Земли). Сила, действующая на
него со стороны поля, меняется по закону F |
= − |
a |
, где а – заданная константа. |
r |
r 2 |
||
Найдите, чему будет равна потенциальная энергия тела в точке, удаленной на расстояние r от силового центра, если нулевой уровень энергии выбран в бесконечно
удаленной точке (U (∞)= 0).
5.36.В условии задачи 5.20 найдите потенциальную энергию тела, если нулевой уровень энергии выбран в точке силового центра (U (0)= 0 ).
5.37.Груз копра массой m = 350 кг падает с высоты h = 2 м и ударяет о сваю,
вбитую в грунт. Масса сваи т1 = 75 кг. После удара свая погрузилась в грунт на глубину s = 4 см. Считая соударение копра и сваи неупругим, найти среднюю силу
сопротивления грунта забивке сваи. Найти, какая доля кинетической энергии груза расходуется при ударе груза о сваю на деформацию этих тел.
5.38.Брусок массой т без трения соскальзывает с высоты h по клину с углом α и
массой т1. Найти скорость клина в момент, когда брусок коснется пола при условии, что трение между полом и клином отсутствует.
5.39.Тело массой т вкатывается на горку, которая может скользить по
горизонтальной плоскости. Отношение массы горки к массе тела равно т1/т = п. Высота горки H. Какой минимальной линейной скоростью должно обладать тело, чтобы достигнуть вершины горки? Трение между поверхностью тела, горки и плоскостью отсутствует.
5.40.Потенциальная энергия частицы массой m в некотором силовом поле
определяется выражением U = a(x2 + y2 + z2 ), где а – положительная константа.
Частица начинает двигаться без начальной скорости из точки с координатами (3, 3, 3). Найдите ее скорость в тот момент, когда она будет находиться в точке с координатами
(1, 1, 1).
5.41. Потенциальная энергия тела массой m , находящегося в гравитационном поле Земли, может быть представлена в виде:
2 |
/ 2 приr < R |
|||||
− mbr |
||||||
U = |
2 |
3 |
, |
|||
/ 2 |
+ mbR |
/ r приr > R |
||||
− 3mbR |
||||||
где b – некоторая константа, а R – радиус Земли. Какой скоростью обладало бы тело, если бы оно могло беспрепятственно достичь центра Земли, начав свой путь из точки, находящейся на расстоянии 2R от центра?
б) Законы изменения и сохранения момента импульса и энергии
5.42. Частица массой m =10 г равномерно движется по окружности радиуса R =10 см со скоростью υ = 20 см/с. Чему равен ее момент импульса относительно оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно плоскости движения?
Укажите на рисунке направление вектора L .
5.43. Частица массой m =10 г движется в плоскости x, y . Ее кинематический закон движения имеет вид x =υ t , где υ = 20 см/с; y = b , где b =10см. Чему равен момент импульса частицы относительно оси z ? Как он меняется со временем?
Укажите на рисунке направление вектора L .
5.44. Шарик массой m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью υ0 . Найдите величину момента импульса шарика относительно точки
бросания в зависимости от времени движения.
5.45. Цилиндр радиуса R =10 см и массой m = 200 г вращается вокруг своей геометрической оси, делая n =10 об/с. Найдите момент импульса цилиндра, если: а)
он сплошной; б) полый. Укажите на рисунке направление вектора L .
5.46. Сплошной цилиндр радиуса R =10 см и массой m = 200 г катится по столу без проскальзывания, делая n =10 об/с. Найдите момент импульса цилиндра
Пуля застревает в стержне. На какую высоту поднимется нижний конец стержня? Какая доля энергии перейдет в тепло в результате удара?
5.57. Сплошной цилиндр, радиус которого R, раскрутили до угловой скорости ω0 и плашмя положили на стол. С какой скоростью будет катиться цилиндр к моменту, когда прекратится его проскальзывание?
5.58. Шар массой m0 =10 г, двигавшийся со скоростью υ0 = 5м/с, испытал упругоеr лобовое соударение с одним из шариков покоившейся жесткой гантели (вектор υ0 перпендикулярен оси гантели). Масса каждого шарика гантели m = 5 г, расстояние
между ними l =1см. Стержень, соединяющий шарики, невесом. Определить скорость движения центра масс гантели и ее угловую скорость вращения после удара. Вся система находится на гладком столе.
5.59. Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг общей вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков
относительно этой оси |
равны |
I1 = 0,2 кг м2 |
и I2 = 0,3 кг м2 , а их угловые |
|||
скорости соответственно |
равны |
ω = 5 |
с−1, |
ω |
2 |
=10 с−1. Верхний диск осторожно |
1 |
||||||
опускают на нижний, после чего, благодаря трению, они начинают вращаться как единое целое. Найдите угловую скорость вращения дисков. Какое количество тепла выделилось при взаимодействии дисков?
5.60. Пуля массой m0 =10 г, летящая горизонтально со |
скоростью |
υ0 = 800м/с, попадает в покоящийся на столе деревянный шар массой |
m =10кг и |
радиусом R = 0,5 м и застревает в нем. Удар пришелся на расстоянии l = 40 см выше центра масс шара. Спустя некоторое время движение шара по столу переходит в качение без проскальзывания. Считая, что m0 << m , определить скорость центра масс
шара в этот момент.
5.61. На гладкой горизонтальной поверхности лежит стержень длиной l =10 см и массой m = 200 г. В одну из точек стержня упруго ударяется шарик массой m0 = 50 г, движущийся перпендикулярно к стержню. На каком расстоянии x от
середины стержня должен произойти удар, чтобы шарик передал стержню всю свою кинетическую энергию. При каком соотношении масс это возможно?
5.62. По горизонтальной поверхности без проскальзывания катится обруч массой m =100 г и радиусом R = 5 см. Обруч наезжает на ступеньку высотой h =1 см. С какой минимальной скоростью он должен катиться, чтобы преодолеть препятствие?
5.63. С высоты Н с горки без проскальзывания скатывается бочка с водой. Масса бочки m1 , масса воды m2 . Определить скорость центра масс бочки в конце пути, если вязкость воды пренебрежимо мала. Массой крышек бочки пренебречь.
6. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
6.1. Материальная |
точка совершает гармонические колебания |
по закону: |
|
x =1,2cos[π(2t / 3 +1/ 4)] |
(м). Определите амплитуду, период, частоту и начальную |
||
фазу колебаний. Найдите амплитуды скорости и ускорения. |
|||
6.2. Точка движется вдоль оси x по закону: |
x = a cos(ωt − π/ 2). Построить |
||
& |
&& |
& |
|
графики: а) смещения x, скорости x и ускорения |
x от времени; б) скорости x от |
||
&& |
|||
смещения x; в) ускорения x |
от смещения x. |
||
6.3.Материальная точка совершает гармонические колебания по закону синуса с амплитудой А. Найти, сколько времени (в долях периода) требуется для смещения точки на расстояние A/2 от ее положения равновесия. Сколько времени требуется для перехода точки из этого положения в положение, наиболее удаленное от положения равновесия?
6.4.Как, зная амплитуду смещения a и амплитуду скорости υ0 , найти частоту
гармонических колебаний ω?
6.5. Частица колеблется вдоль оси x по закону x = 0,1 sin(6,28t) (м). Найдите среднее значение модуля скорости частицы υ :
а) за первую 1/4 часть T, б) за период колебаний T.
6.6. Частица колеблется вдоль оси x по закону x = a cosωt. Считая вероятность W нахождения частицы в интервале от – a до +a равной единице, найти зависимость от x
плотности вероятности w = dWdx нахождения частицы в данной области. (Вероятность
обнаружения частицы в данной области W равна отношению времени пребывания частицы в этой области к T/2).
6.7. Шарик совершает колебания по закону x1 = 3cos(ωt + π/ 3) (см) относительно подставки, к которой он прикреплен через пружину. Подставка в свою очередь колеблется относительно стола по закону x2 = 8sin(ωt + π/ 6) (см). Оба
колебания происходят вдоль вертикали. Запишите уравнение колебаний шарика x(t) относительно стола.
6.8.Уравнения движения частицы, движущейся в плоскости x, y, имеет вид: x = a sin ωt, y = b cos ωt, где a и b – амплитуды колебаний вдоль осей x и y. Найдите уравнение траектории частицы и направление ее движения по этой траектории.
6.9.При какой длине l период колебаний математического маятника будет равен 1 с? Чему равен период колебаний T математического маятника длины l = 1 м.
6.10.В кабине лифта подвешен маятник, период колебаний которого в неподвижном лифте равен T0. Каков будет период T колебаний этого маятника, если
лифт станет опускаться с ускорением a = 34 g?
6.11. Жидкость налита в трубку, изогнутую так, что ее колена образуют с горизонтом углы α и β. Найти период колебаний жидкости, налитой в эту трубку и выведенной из положения равновесия, если длина осевой линии трубки l. Капиллярные силы и вязкость не учитывать.
6.12. Предположим, что по одному из диаметров Земли просверлен канал. Принимая Землю за однородный шар плотностью ρ = 5,5·103 кг/м3, найти время τ