Материал: МЭИ(ТУ) Физика

конфигурации зарядов. При этом в некоторых случаях удобнее сначала найти напря-

женность поля, а затем, воспользовавшись интегральной формулой ϕ1 -ϕ2 = ò2 Edl 1, ис-

1

кать разность потенциалов или потенциал какой-либо точки. В некоторых случаях и потенциал, и напряженность следует находить методом суперпозиции либо искать век- тор напряженности электрического поля по потенциалу, найденному на основании ме- тода суперпозиции.

Первое занятие по разделу рекомендуется начать с разбора систем единиц СИ и СГСЭ, причем главный упор должен быть сделан на СИ. Рассматривая основные еди- ницы этой системы, не следует давать полного определения ампера. Единицу заряда 1 кулон (Кл = А · с) надо получить из соотношения Q = It, известного студентам из школьного курса физики. В СИ принята рационализованная форма записи уравнений, согласно которой коэффициент пропорциональности k в законе Кулона должен содер-

жать множитель 41π . Следовательно, закон Кулона будет иметь вид

где ε0 – электрическая постоянная, или диэлектрическая проницаемость вакуума. Находя из опыта силу взаимодействия двух зарядов, величина которых известна и

которые находятся на заданном расстоянии друг от друга, и подставляя эти данные в формулу (2), можно вычислить величину ε0. Если расстояние измеряется в метрах, за- ряды – в кулонах, сила – в ньютонах, то

1 Такая запись формулы (без знака минус) соответствует определению: разность потенциалов между двумя точками есть величина, численно равная работе, совершае- мой силами поля при перенесении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Следует сразу же оговорить, что размерность электрической постоянной приводит-

ся к виду Фм , где φ – сокращенное обозначение единицы электроемкости – фарады. Но

минается, так как выводится непосредственно из закона Кулона.

Соотношение между кулоном и единицей СГСЭ заряда легко получить из опреде- ления последней. В системе СГСЭ за единицу заряда принимается точечный заряд, ко- торый на равный ему заряд, помещенный в вакууме на расстоянии r = 1 см, действует с силой F = 1 дин.

Величину этого заряда можно выразить в кулонах, если в формулу (2) подставить значения: F = 10-5 Н, r = 10-23 м; тогда

q2 = 4πε0Fr2 = 10−8 Кл2 .

9

Отсюда

[q]=1СГСЭq = 3×1109 Кл 1

Соотношения между всеми производными единицами могут быть легко выведены. Например, напряженность электрического поля по определению численно равна отно- шению силы, действующей на точечный заряд, к величине этого заряда, т. е.

E = Fq ;

следовательно, единица измерения напряженности в СИ равна 1 КлН , в системе СГСЭ –

1 СГСЭдин q , отсюда

Внешний вид формул электромагнетизма зависит от выбора системы единиц (см. таб- лицу 2 Приложения).

1 Можно считать, что указанное соотношение есть результат опыта, а значение ε0 тогда получится из расчета. Но такой способ, во-первых, сложнее для понимания, во- вторых, он не позволяет полностью ввести систему СИ до изложения системы СГСЭ.

Задачу можно было решить, не задавая заранее направления сил, считая, что знак заряда определит и знак, т. е. направление, силы. Однако этот метод уже не будет го- диться при взаимодействии зарядов, расположенных не на одной прямой.

Задача 2

Точечный заряд q = 5 СГСЭq расположен в центре полукольца радиуса r0 = 5 см. По полукольцу равномерно распределен заряд Q = 3 · 10-7 Кл. Найти силу, с которой это полукольцо действует на точечный заряд.

Анализ. Найти силу, с которой полукольцо действует на точечный заряд q, непо- средственно из закона Кулона нельзя, так как полукольцо заведомо не представляет со- бой точечного заряда. Но можно определить эту силу как ре- зультирующую элементарных сил, действующих на заряд со стороны достаточно малых равных элементов dl полукольца.

Следует обязательно оговорить, что элемент dl очень мал и его можно рассматривать как точечный, но, с другой стороны, элемент dl должен быть велик по сравнению с размерами мо- лекул, т. е. должен быть элементом макроскопическим. По-

Рис. 49. скольку заряд Q распределен по полукольцу равномерно, то элемент dl будет обладать зарядом

Элементарная сила, с которой поле действует на точечный заряд, направлена по пря- мой, соединяющей заряд q и элемент dl (рис. 49), и согласно закону Кулона равна

При переходе от одного элемента полукольца к другому числовое значение эле- ментарных сил dF не будет меняться, но будет меняться их направление. Поэтому сле- дует отдельно искать проекции результирующей силы на оси координат. В данной за- даче все элементарные векторы dF лежат в плоскости рисунка (точнее, в плоскости по- лукольца), поэтому можно ограничиться двумя осями, направив их из соображений симметрии так, как показано на рисунке.

Решение. Чтобы найти проекции результирующей силы F на оси, будем интегри- ровать соответствующие проекции элементарных сил по полукольцу:

В обоих случаях интеграл берется по полукольцу, что соответствует изменению угла α в пределах от 0 до π. Следует приучить студентов, чтобы в подобных случаях прямо под интегралом они подписывали, по какому телу ведется интегрирование. Подставляя формулы (1) и (2) в выражения (3) и (4) и учитывая, что dl = r0dα, находим

Направление результирующей силы F по оси x и равенство нулю проекции резуль- тирующей силы на ось y можно было предсказать из соображений симметрии и не про- водя интегрирования.

Так как задача решается в СИ, то прежде чем подставлять в окончательную форму- лу числовые значения заданных величин, их надо перевести в данную систему и затем проверить формулу (5) по размерностям единиц. Величины, стоящие в правой части формулы, имеют следующие размерности:

следовательно,

[F]= Кл2 ×2Н× × м2 2 = Н .

Кл м Используя полученный результат, можно показать, что на точечный заряд, поме-

щенный в центр равномерно заряженного кольца, поле действовать не будет.

Задача 3

Тонкий стержень длиной l0 = 10 см. равномерно заряжен положительным зарядом Q = 10-7 Кл. Найти силу, действующую на точечный заряд q = 6 СГСЭq, расположенный