FR |
é |
æ |
2 |
l |
2 |
öù |
|||||
9.24. 1. |
v(t) = |
ç |
B |
÷ |
|||||||
ê1 |
- expç |
- |
t ÷ú . |
||||||||
2 |
l |
2 |
mR |
||||||||
B |
ë |
è |
øû |
||||||||
2. |
См. рис. 9.10. |
||||||||||
Рис. 9.10.
3. vmax = BFR2l2 .
10. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
Уравнения Максвелла устанавливают связь между характеристиками E, D, H, B электромагнитного поля. Ниже предложены задачи, в которых рассматривается ток смещения и обусловленное им магнитное поле (см. пример 10.1).
При симметричном распределении макротоков уравнения Максвелла (закон полно- го тока) позволяет легко рассчитать распределения напряженности магнитного поля (аналогично тому, как это сделано в примере 6.2). Материальные уравнения системы уравнений Максвелла позволяют найти магнитную индукцию (пример 10.2). При этом следует иметь в виду; что магнитная проницаемость ферромагнетиков и магнитная ин-
B, Тл |
||||
1,4 |
||||
1,2 |
||||
1,0 |
||||
0,8 |
||||
0,6 |
500 |
2000 H, А/м |
||
0 |
1000 |
1500 |
Рис. 10.1.
дукция в них сложным образом зависят от напряженности магнитного поля. В качестве примера такой зависимости на рис. 10.1 приведена кривая намагничивания B(H) для мягкого железа. У сверхпроводников удельное сопротивление ρ = 0, и при помещении их в магнитное поле (которое разрушает это состояние) магнитное поле внутри отсут- ствует: B = 0.
Примеры решения задач
Пример 10.1. Длинный* цилиндрический конденсатор заряжается от источника ЭДС, создающего в своей цепи ток I. Пренебрегая краевыми эффектами, найти ток смещения в диэлектрике, заполняющем пространство между обкладками конденсатора.
Согласно уравнениям Максвелла плотность тока смещения jсм = ∂∂Dt . Ток смеще-
ния в диэлектрике равен потоку плотности тока через цилиндрическую поверхность S радиусом r (рис. 10.2):
Iсм = òjdS = ò jr dS = ò |
∂D |
dS , |
||||||||||||
S |
S |
S ∂t |
||||||||||||
так как и j, и dS направлены вдоль радиуса поверхности S, как по- |
||||||||||||||
казано на рис. 10.2. В тот момент времени, когда заряд на обклад- |
||||||||||||||
ках цилиндрического конденсатора равен Q, электрическое сме- |
||||||||||||||
щение |
||||||||||||||
D = |
Q |
|||||||||||||
r |
2πrl |
|||||||||||||
Рис. 10.2. |
и |
|||||||||||||
∂Dr |
= |
∂Q ∂t |
= |
I |
||||||||||
∂t |
2πrl |
2πrl |
, |
|||||||||||
так как от времени зависит только заряд Q, а заряд Q в свою очередь зависит только от |
||||||||||||||
времени, так что ∂Q/∂t = dQ/dt. Тогда |
||||||||||||||
Iсм = |
I |
dS = |
I |
dS = I . |
||||||||||
òS 2πrl |
||||||||||||||
2πrl òS |
||||||||||||||
Итак, Iсм = I.
Пример 10.2. Железный сердечник кольцевого соленоида (тора) имеет форму кольца средней длины l = 100 см с воздушным зазором толщиной l' = 0,20 см. Попереч- ное сечение тора S = 30 см2. Обмотка имеет N = 800 витков, по которым идет ток
I = 2,0 А. Найти величину магнитного потока в сердечнике, если при заданных услови- ях его относительная магнитная проницаемость μ = 1000. Краевыми эффектами пре- небречь.
Магнитный поток в сердечнике
Φ = òBжdS ,
Sж
где Bж – магнитная индукция в сердечнике, Sж – сечение сердечника. Так как измене- ниями линий магнитной индукции на краях зазора можно пренебречь, то магнитный поток в сердечнике и в зазоре одинаков:
òBжdS = òBвозdS .
Sж Sвоз
Учитывая, что площади сечения зазора и сердечника равны, получим Bж = Bвоз = B. Со-
гласно материальным уравнениям Максвелла в сердечнике напряженность магнитного поля Hж = B/μ0μ и в воздухе (в зазоре) Hвоз = B/μ0.
Распределение макротоков, определяющих напряженность магнитного поля, сим-
метрично, линии напряженности – окружности, концентричные самому тору. Следо-
вательно, можно рассчитать напряженность, по закону полного тока
òHdl = åI .
L
Выберем контур интегрирования L совпадающим с линией напряженности по средней линии тора. Тогда всюду на ней вектор H коллинеарен dl и
òHdl = òHжdl + òHвозdl = Hж (l - l')+ Hвозl' .
L |
l −l ' |
l' |
|||||
Сумма токов, сцепленных с указанным контуром L, равна NI. Согласно закону пол- |
|||||||
ного тока и материальным уравнениям |
|||||||
B(l - l') |
Bl' |
= NI , |
B = |
μ0μNI |
|||
+ μ0 |
. |
||||||
μ0μ |
l - l'+μl' |
||||||
Так как тор тонкий*, максимальную индукцию можно читать одинаковой во всех
точках поперечного сечения и Φ = BS. Итак, |
||||
F = |
μ0μNIS |
= 2,0 ×10−4 |
Вб . |
|
l - l'+μl' |
||||
Задачи
10.1.Плоский конденсатор емкостью C, заряженный, до напряжения U0, разряжа- ется через сопротивление R. Найти магнитную индукцию B внутри конденсатора на расстоянии r от центра обкладок. Пластины конденсатора – круглые диски площадью S.
10.2.Пластины плоского воздушного конденсатора площадью S соединены витком провода. В цепи создан синусоидальный ток I = Im sin ωt. Найти амплитуду напряжен- ности электрического поля в конденсаторе и амплитуду магнитной индукции на рас- стоянии r от центра обкладок.
10.3.Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения.
1.Пренебрегая краевыми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конден-
сатора отсутствует.
2. Найти плотность тока проводимости и тока смещения. Радиус дисков r, расстоя- ние, между ними l, диэлектрическая проницаемость среды ε, удельное сопротивление ρ. Начальная разность потенциалов между дисками U0.
10.4.Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводи- мостью σ и диэлектрической проницаемостью ε. Расстояние между обкладками d. Пре- небрегая краевыми эффектами, найти напряженность магнитного поля между обклад- ками на расстоянии r от их оси, если на конденсатор подано переменное напряжение
U = Um cos ωt.
10.5.Длинный прямой соленоид имеет n витков на единицу длины. По нему течет
переменный ток I = Im sin ωt. Найти плотность тока смещения как функцию расстояния
rот оси соленоида. Радиус сечения соленоида r0.
10.6.Между полюсами электромагнита создано постоянное во времени неоднород- ное магнитное поле, обладающее осевой симметрией. Его магнитная индукция зависит
от расстояния от оси следующим образом: при r < r0 B0 = Ar03 , при r < r0 B0 = A/r3. По-
сле выключения тока в электромагните магнитная индукция уменьшается со временем по закону B = B0eхр(– t/τ), где A, τ, r0 – известны.
1.Найти распределение напряженности электрического поля E(r) в пространстве между полюсами электромагнита в некоторый момент времени после отключения тока.
2.Построить графики E(r) для моментов времени t = 0 и t = τ.