Dϕ = 0,020 В.
Чтобы найти, где потенциал выше, рассмотрим действие силы Лоренца на электроны проводимости. Она направлена вдоль радиуса к центру, где создается избыток поло-
жительных зарядов, т. е. в центре потенциал ниже.
| φ| можно вычислить также с помощью закона Фарадея-Максвелла, учитывая, что поток через заметенную "проводником" поверхность есть поток однородного магнит-
ного поля через площадь сектора S = ωtr2 2 . Тогда
æ |
2 |
ö |
2 |
||||||||
Dϕ |
dF |
d |
ç |
Br ωt |
÷ |
Bωr |
|||||
= |
= |
= |
. |
||||||||
dt |
ç |
2 |
÷ |
2 |
|||||||
dt è |
ø |
||||||||||
Пример 9.2. В одной плоскости с длинным* прямым проводом, по которому идет ток I, находится прямоугольная рамка со сторонами a и b, рамка движется поступа- тельно и прямолинейно со скоростью в направлении, перпендику-
лярном прямому проводу, расположенному параллельно ее другой |
|||
стороне. Найти ЭДС, индуцируемую в рамке, в тот момент, когда |
|||
ближайшая сторона рамки, параллельная проводнику, находится от |
|||
него на расстоянии x0 (рис. 9.2). |
|||
Применим закон Фарадея-Максвелла εi = - |
dF |
, где Φ(t) – маг- |
|
dt |
|||
Рис. 9.2. |
нитный поток через поверхность, натянутую на рамку, в любой мо- |
||
мент времени. В данном случае магнитный поток зависит от времени, так как зависит от времени положение рамки в неоднородном поле. Воспользовавшись результатом расчета магнитного потока в примере 8.1, для рассматриваемого случая запишем
F(t)= |
μ |
0 |
æ |
b ö |
||
Ialnç1+ |
÷ |
, |
||||
2π |
||||||
è |
vt ø |
|||||
откуда
ε= μ0 Iab .
i2πt(b + vt)
Втот момент, когда vt = x0, εi = μ0Iabv/[2πx0(b + x0)]. Направление индукционного тока Ii = εi/r > 0 согласовано с dS, т. е. по часовой стрелке.
Пример 9.3. В цепь, состоящую из источника постоянной ЭДС ε, длинной* катуш- ки сечением S, длиной l, с числом витков N и сопротивлением R1, быстро подключают добавочное сопротивление R2, размыкая ключ К (рис. 9.3). Найти закон изменения тока со временем.
В электрической цепи до размыкания ключа К идет ток I0 = ε/R1, поскольку сопротивление R2 закорочено. При размыкании К ток в цепи пойдет через оба сопротивления R1 и R2, так как катуш- ка обладает индуктивностью L, в ней возникает ЭДС самоиндук-
Рис. 9.3. |
ции |
εс = -L dI |
. Закон Ома для цепи запишется так: |
|
dt |
||||
I(R + R )= ε - L dI . |
||||
1 |
2 |
dt |
||
Для нахождения силы тока в цепи разделим переменные в этом уравнении: LdI/dt = ε – I(R1 + R2), dt/L = dI/[ε – I(R1 + R2)]. Поскольку ε, R1, R2, L – постоянные вели- чины, то после интегрирования по t и I, получим выражение ln[ε – I(R1 + R2)] = – t/L + + ln C, где ln C – произвольная постоянная интегрирования. Потенцируя последнее вы- ражение, получим ε – I(R1 + R2) = C exp[– (R1 + R2)t/L]. Величину C найдем из начально- го условия: до размыкания ключа К (t = 0) ток в цепи был I(0) = I0 = ε/ R1, откуда
æ |
R1 + |
ö |
|
ç |
R2 |
÷ |
|
C = εç1- |
R1 |
÷ . |
|
è |
ø |
||
После преобразований получим, что в момент времени t ток в цепи равен
ε |
é |
R |
æ |
R + R |
öù |
||||
I = |
1+ |
2 |
expç |
- |
1 2 |
t ÷ |
ú |
. |
|
ê |
R1 |
è |
L |
||||||
R1 + R2 ë |
øû |
||||||||
Рассчитаем теперь необходимую для ответа индуктивность длинной* катушки. Ко- гда в ней протекает ток I, то магнитная индукция в ней примерно одинакова во всех точках оси и по сечению: B = μ0IN/l, магнитный поток однородного поля через катушку потокосцепление) Ψ = BSN = μ0IN2S/l, отсюда индуктивность
L = |
Y |
= |
μ |
N 2S |
. |
I |
0 |
l |
|||
Задачи
9.1. В однородном магнитном поле, линии индукции которого вертикальны, а B = 0,010 Тл, соскальзывает с наклонной плоскости металлическая палочка длиной l = 1,0 м. Найти разность потенциалов на концах палочки через время τ = 0,5 с после начала ее движения, если угол наклона плоскости к горизонту α = 30°.
9.2. В однородном магнитном поле B = 0,05 Тл в плоскости, перпендикулярной ли- ниям индукции, расположен стержень длины l = 0,5 м. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через один из его концов и параллельной линиям индукции, с постоянной угловой скоростью ω = 6,4 рад/с.
1.Найти ЭДС индукции, возникающую в стержне.
2.Найти разности потенциалов между осью и серединой стержня, между середи- ной стержня и вторым его концом.
9.3.Медный диск радиусом r = 250 мм вращается вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр, делая n = 20 об/с. Найти разность потенциа- лов φ между краем и точкой на середине радиуса диска, возникшую при помещении диска в однородное магнитное поле, линии индукции которого направлены так же, как вектор ω, индукция B = 0,010 Тл.
9.4.В центре витка радиусом r = 10 см, по котором идет ток I = 10 А, расположен маленький* круговой контур радиуса r0 = 0,5 см. Контур этот вращается вокруг своего диаметра, лежащего в плоскости большого витка, делая n = 10 об/с. Найти максималь- ную ЭДС εmax, возникающую в контуре.
9.5.В однородном магнитном поле, индукция которого B = 0,020 Тл, находится плоская прямоугольная рамка, со сторонами a = 10 см, b = 20 см. Рамка вращается во- круг оси, перпендикулярной линиям индукции и совпадающей с одной из длинных сто- рон рамки, делая n = 50 об/с (рис. 9.4). Обмотка рамки состоит из N = 50 витков.
l |
B |
v |
|
Рис. 9.4 |
Рис. 9.5. |
||
1. Найти максимальное значение ЭДС индукции, возникающей в рамке.
2. Построить график зависимости εi от угла α между нормалью к плоскости рамки и вектором индукции B.
3. Что изменится, если ось вращения будет, совпадать с короткой стороной рамки?
Будет лежать в плоскости рамки ил проходить через ее середину?
9.6. В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому идет ток I = 2,0 А, находится прямоугольная рамка cо сторонами a = 25 см и b = 40 см. Рамка на- чинает двигаться поступательно и прямолинейно с ускорением a0 = 0,40 м/с2 в направ- лении, перпендикулярном к прямому проводу, расположенному параллельно ее длин- ной стороне. Найти ЭДС, индуцируемую в рамке, через t = 0,50 с от начала движения. В начале движения рамка примыкала к проводу.
9.7. В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,010 Тл в плоскости, нор- мальной линиям индукции, расположены параллельные шины, замкнутые на сопротив- ление R = 0,050 Ом. По шинам движется поступательно с постоянной скоростью
v= 1,0 м/с проводник длиной l = 50 см (рис. 9.5).
1.Найти ток в цепи, если сопротивлением шин и скользящего проводника можно пренебречь.
2.Найти модуль и направление силы, которую надо приложить к проводнику, что- бы он двигался с указанной скоростью. Индуктивностью и емкостью всего контура пренебречь.
9.8.В горизонтальной плоскости параллельно расположены стержни C и D и пря- мой длинный* провод (рис. 9.6). Расстояния от провода до стержней x1 = 5 см,
2
Рис. 9.6.
x2 = 15 см. По проводу идет ток I = 10 А. Стержни конца замкнуты на сопротивление R = 0,050 Ом. По стержням скользит проводник с постоянной скоростью v = 5,0 м/с. Найти ток, индуцированный в контуре.
9.9. Обмотка соленоида длиной l = 70 см, диаметром d = 10 см состоит из N = 1000 витков. На соленоид, в среднем его сечении, плотно надето медное кольцо с попереч- ным сечением S = 2 мм2. Ток в соленоиде в течение некоторого времени: а) возрастает
по закону I = I1 + k1t, где I1 = 0,5 А, k1 = 0,1 А/с; б) убывает по закону I = I2ехр(– k2t2),
где I2 = 4,0 А; k2 = 0,5 с-1.