Материал: МЭИ(ТУ) Физика

2. ПОТЕНЦИАЛ. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Потенциал, создаваемый точечным зарядом Q в точке A, находящейся на расстоя-

нии r от этого заряда, равен ϕ(A) = 4πεQ0r , если положить потенциал на бесконечности

равным нулю: φ(∞) = 0.

Потенциал, создаваемый в точке A произвольным зарядом, можно найти на основа- нии принципа суперпозиции (см. пример 2.1).

Зная распределение потенциала φ(x, y, z), можно найти составляющие напряженно- сти, пользуясь дифференциальной связью потенциала, и напряженности (см. пример

2.2).

Потенциал и разность потенциалов можно рассчитать, зная напряженность элек- тростатического поля, так как они взаимосвязаны.

Примеры решения задач

Пример 2.1. По тонкому* стержню, длиной l = 20 см равномерно распределен за- ряд Q = l,0 мкКл. Найти потенциал в точке A, лежащей на продолжении стержня на расстоянии x0 = 10 см от его ближайшего конца (рис. 2.1). Пользуясь дифференциаль- ной связью напряженности и потенциала, найти напряженность электрического поля в точке A.

Рис. 2.1.

Наиболее экономно в данном случае найти потенциал φ(A), исходя из принципа су-

перпозиции потенциала: ϕ(A) = òdϕ(A). Введем ось x, как на рис. 2.1. Мысленно раз-

по Q

делим стержень на столь малые участки dx, что сосредоточенный на участке dx заряд dQ можно считать точечным. Поскольку заряд распределен по стержню равномерно, то

r = l + x0 – x.

Потенциал, создаваемый всеми зарядами стержня, найдем интегрированием:

Учтем, что расстояние r от произвольного заряда dQ до точки A различно, и перей- дем к интегрированию по r (dr = – dx, пределы интегрирования по r примут значения при x = 0 r = l + x0, при x = l r = x0) (рис. 2.1). Тогда

Конечно, можно найти φ(A) из интегральной связи напряженности и потенциала

ϕ(A) = ∞òE x dx , но для этого нужно сначала вычислить Ex(x) (тоже с помощью принципа

A

суперпозиции), этот путь длиннее.

При x >> l заряд стержня можно считать точечным, действительно, в этом случае

Отметим, что это выражение для Ex справедливо только для точки на продолжении стержня.

Пример 2.2. Найти потенциал как функцию расстояния от центра двух концентри- ческих сфер радиусами r1 = 10 см и r2 = 20 см, равномерно заряженных зарядами Q1 = 1,0 · 10-6 Кл и Q2 = – 3,0 · 10-6 Кл. Начало отсчета потенциала принять в центре

(φ(0) = 0).

Расчет потенциала из принципа суперпозиции ϕ = òdϕ представляет здесь мате-

по Q

матически сложную задачу. Высокая симметрия заряда позволяет легко рассчитать на- пряженность поля и воспользоваться связью потенциала и напряженности в интеграль-

ной форме

r0

ϕ(r) = ϕ(r)-ϕ(r0 ) = òEl dl , ϕ(r0 ) = 0 .

r

5 Er,

10 Н/Кл

10

5

Вычисляя потенциал φ(r), отметим, что соответствующий интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой Er(r) (рис. 2.2).

Математическое выражение для потенциала (как и Er(r)) будет иметь для разных

На рис. 2.3 изображен график φ(r) при заданных значениях r1, r2, Q1, Q2. Потенциал бесконечно удаленных точек положительный, это означает, что при переносе единич- ного заряда к центру поле совершает положительную работу (действительно, dr < 0,

Er < 0, dA < 0).

Задачи

2.1. Два точечных заряда расположены на оси x декартовой системы координат. За- ряд Q1 = 4,0 · 10-7 Кл находится в точке x1 = 0, заряд Q2 = – 2,0 · 10-7 Кл – в точке x2 = – 70 мм.

1.Найти потенциал: а) в точке с координатами x = 20 мм, y = 50 мм; б) в точке, в которой результирующая напряженность поля E = 0 (φ(∞) = 0).

2.Построить график зависимости потенциала φ от координаты x для точек, распо- ложенных вдоль оси абсцисс.

2.2.По тонкому* стержню длиной l равномерно распределен заряд Q. Найти по- тенциал в точке, лежащей на продолжении стержня на расстоянии x0 от его ближайше- го конца.

2.3.Тонкий* стержень длиной l = 10 см заряжен положительным зарядом с линей-

ной плотностью τ = τ0 xl , где τ0 =8 нКл/м (рис. 1.5). Найти потенциал в точке, находя-

щейся на продолжении стержня на расстоянии a = 20 см от его правого конца.

2.4. По тонкому* полукольцу радиуса r = 80 мм равномерно распределен заряд

Q= 7 · 10-8 Кл.

1.Найти потенциал в центре полукольца.

2.Как изменится ответ, если полукольцо заряжено неравномерно?

2.5.По тонкому* полукольцу радиуса r равномерно распределен заряд Q. Из центра полукольца восстановлен перпендикуляр к плоскости полукольца. Ось z направлена по перпендикуляру, начало координат в центре полукольца.

1. Найти потенциал φ и проекцию вектора напряженности Ez как функцию коорди- наты z точек, лежащих на оси z.

2. Что изменится, если заряд Q распределить по полукольцу неравномерно?

2.6.По тонкому* кольцу радиуса r равномерно распределен заряд Q.

1.Найти потенциал поля в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии z от его центра.

2.Построить график зависимости потенциала φ от координаты z точек, лежащих на оси кольца (ось z направлена по оси кольца, начало координат совпадает с его цен- тром), считая: а) φ = 0 при z = 0; б) φ = 0 при z → ∞.

3.Найти напряженность поля в точках, лежащих на оси, дифференциальную связь между φ и E.

4.Что изменится в решении задачи, если заряд будет распределен по кольцу нерав- номерно?