h2 = l − l cosα . |
(1) |
Время соударения τ измеряется с помощью микросекундомера. Среднюю силу взаимодействия можно найти, записав второй закон Ньютона для шара 1 в проекции на горизонтальную ось:
∆(m1v)= Fсрτ или m1 (vкон − vнач )= Fсрτ . |
(2) |
До взаимодействия шар 1 покоился и его начальная скорость vнач = 0. После удара он начнет двигаться со скоростью vкон, которую можно найти из закона сохранения ме-
ханической энергии, зная высоту h1, на которую поднимется шар (если пренебречь работой сил сопротивления):
m v2 |
= m gh , |
||||||||
1 |
кон |
||||||||
2 |
1 |
1 |
|||||||
где |
|||||||||
h1 |
= l − l cos β . |
(3) |
|||||||
Отсюда |
|||||||||
vкон = 2gl(1 − cos β ) = 2 |
gl sin |
β . |
(4) |
||||||
2 |
|||||||||
Подставив это значение в формулу (2), получим |
|||||||||
Fср = |
2m1 |
gl |
sin |
β |
. |
(5) |
|||
τ |
2 |
||||||||
Угол отклонения β будет меньше, чем угол α. Это связано с тем, что, во-первых, удар не является абсолютно упругим и, во-вторых, массы шаров не равны, поэтому после удара шар 2 не останавливается. Оценим долю механической энергии, которая переходит в теплоту после удара:
η = |
Wнач −Wкон |
. |
(6) |
Wнач |
|||
Начальная энергия системы шаров определяется потенциальной энергией шара 2. Зная высоту h2 (см. формулу (1)), найдем
Wнач = m2 gh2 = m2 gl(1 − cosα). (7)
Конечная энергия системы тел после удара будет равна сумме кинетических энергий этих шаров
W = |
m v |
2 |
+ |
m |
u2 |
= m gh + |
m |
u2 |
, |
(8) |
1 |
кон |
2 |
2 |
|||||||
кон |
2 |
2 |
1 1 |
2 |
||||||
где u – скорость второго шара после удара.
Скорость u, входящую во второе слагаемое, можно найти из закона сохранения импульса в момент удара
m2u2 = m1v − m2u . |
(9) |
Здесь u2 = 2gl(1 − cosα) (см. аналогичные формулы (3) и (4)), u2 – скорость второго шара до удара.
В результате после ряда преобразований формулу (6) можно привести к виду
m1 |
|||||||||||||
2 |
(1 |
− cos β )(1 |
− cosα)− 1 |
+ |
(1 |
− cos β) |
|||||||
m |
m |
2 |
|||||||||||
η = |
1 |
. |
(10) |
||||||||||
m2 |
1 − cosα |
||||||||||||
2. Порядок выполнения работы
1.Нажать на клавишу СЕТЬ, при этом должно заработать табло цифровой индикации на панели микросекундомера. Отклонить шар 2 на угол α до соприкосновения с электромагнитом. Нажать клавишу СБРОС. При этом табло цифровой индикации времени покажет нули.
2.Нажать клавишу ПУСК. Измерить время соударения τ и угол отклонения шар 1 после удара, т. е. угол β. Данные записать в табл. 1, после чего нажать клавишу СБРОС.
3.Измерения провести не менее десяти раз, после чего сделать выборку, состоящую из пяти наиболее совпадающих результатов. Эти данные занести в табл. 1. (Как указывалось выше, электрический контакт между шарами зависит также от состояния их поверхностей. Для того чтобы ослабить эту зависимость, предлагается сделать выборку из проведенной серии измерений.)
Данные установки |
|||
α = |
∆α = |
||
m1 = |
∆m1 = |
m2 = |
∆m2 = |
l = |
∆l = |
Таблица 1
№ |
τi, мкс |
∆τi, мкс |
βi, град |
∆βi, град |
1 |
||||
2 |
||||
3 |
||||
4 |
||||
5 |
||||
Среднее |
– |
– |
||
3. Обработка результатов измерений
1.Найти среднее значение времени соударения τ .
2.Найти отклонение от среднего значения
∆τi =τ −τi .
Данные занести в табл. 1.
3. Рассчитать случайную погрешность ∆τсл. Найти суммарную погрешность
∆τ = (∆τсл )2 + (∆τинс )2 .
4.Записать результат измерения времени соударения
τ= τ ± ∆τ
сучетом правил округления.
5.Те же расчеты повторить для угла β.
6. По формуле (5) |
найти |
среднюю |
силу |
взаимодействия двух шаров |
F |
|||||||||
(g = 9,8156 м/с2). |
||||||||||||||
7. Рассчитать погрешность ∆F по формуле |
||||||||||||||
∆F = F |
1 |
ctg 2 |
β |
∆β 2 |
∆τ 2 |
∆m |
2 |
+ |
1 |
∆l 2 |
||||
+ |
+ |
1 |
. |
|||||||||||
ср |
4 |
2 |
τ |
4 l |
||||||||||
m1 |
||||||||||||||
Рассчитать относительную погрешность δ = ∆F .
Fср
В этой формуле ∆β следует взять в радианах. Кроме того, можно пренебречь слагаемыми, величина которых много меньше остальных.
8. Записать окончательный результат расчетов в виде
F = Fср ± ∆F
сучетом правил округления.
9.Сравнить внутреннюю силу, т. е. силу взаимодействия F, с внешними силами, например с силой тяжести m1g. Для этого найти отношение F/m1g и убедиться, что оно много больше единицы.
10.По формуле (10) найти долю энергии, перешедшей в теплоту, и оценить степень упругости удара.
4. Дополнительное задание
По указанию преподавателя провести измерение силы взаимодействия шара и неподвижной стенки. В этом случае измеряются время соударения τ, углы отклонения шара до и после удара α1 и α2 соответственно. Сила взаимодействия рассчитывается по формуле
F = |
2m |
2 |
gl |
α |
1 |
+ sin |
α |
2 |
|
sin |
. |
||||||||
τ |
2 |
2 |
|||||||
Контрольные вопросы
1.Какой удар называется упругим?
2.Какие законы сохранения выполняются при упругом ударе?
3.Что называется неупругим ударом?
4.Найти долю энергии, которая переходит в тепло при упругом ударе.
5.Найти скорости шаров после упругого удара.
Лабораторная работа № 4
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
Цель работы: изучение закона сохранения импульса для системы, состоящей из пушки и снаряда.
Пружинная пушка укреплена на тележке, которая может двигаться с малым трением по горизонтальным рельсам. При срабатывании спускового механизма снаряд выталкивается распрямляющейся пружиной и движется вначале в стволе пушки, а затем в воздухе.
Систему пушка-снаряд можно считать приближенно замкнутой в горизонтальном направлении, так как сила трения между колесами тележки и рельсами много меньше внутренних сил, действующих малый промежуток времени. Действием силы трения за это время можно пренебречь. Поэтому для взаимодействия пушки и снаряда, происходящего от начала действия пружины до момента вылета снаряда из ствола, сохраняется проекция импульса на горизонтальное направление (вдоль оси пушки). Начальный импульс системы равен нулю, так как оба тела неподвижны. Поэтому проекция импульса системы должна оставаться равной нулю до конца взаимодействия, т. е. должно иметь место равенство
m1v1x − m2 v2 x = 0 , |
(1) |
где m1 – масса пушки и тележки; v1 – скорость пушки в конце ее взаимодействия со снарядом; m2 – масса снаряда; v2 – скорость снаряда в конце взаимодействия.
Введем следующие обозначения: импульсы – P1 = m1v1; P2 = m2v2, тогда из соотно-
шения (1) следует, что
P1 = P2 . |
(2) |
Соотношение (2) проверяется в данной работе.
1. Описание метода измерений
Для проверки соотношения (2) необходимо найти массу пушки и массу снаряда и рассчитать скорости v1 и v2. Масса m1 задана на установке, массу m2 требуется найти взвешиванием на технических весах. Абсолютные величины скоростей v1 и v2 найдём,
исследуя независимые движения пушки и снаряда по окончании их взаимодействия.