Материал: Математическое моделирование. приобретение навыков разработки и использования моделей в машиностроении. Копосов В.Н

где – опытный коэффициент, зависящий от соотношения длины, радиуса и толщины оболочки (в данном случае = 2)

Условия работоспособности можно записать:

;

.

Таблица 3.

Характеристика конструкции и материала оболочки

Определяем средние значения:

;

;

;

.

Находим средние квадратические отклонения

;

.

Корреляционный момент в соответствии с выражением (14) после преобразования с учётом вышеуказанных зависимостей будет:

,

а коэффициент корреляции

.

Далее определяем необходимые входные данные для вычисления надежности:

;

С помощью таблиц из работы [4] находим:

;

;

И наконец, в соответствии с выражением (12) рассчитываем:

В предположении независимости и безотказность в соответствии с формулой (15) будет

Различие, как и следовало ожидать, незначительное, поскольку корреляция слабая, о чем свидетельствует сравнительно низкий коэффициент корреляции.

Элементы исследования операций

Под исследованием операций понимают совокупность принципов, методов и средств, позволяющих решать задачи выбора наилучших вариантов. Методология исследования операций оказалась эффективной при решении многих задач в различных областях техники [30], [33].

Выбор наилучшего варианта всегда связан с компромиссными решениями, которые принято называть оптимальными. При этом под оптимальным понимается решение, минимизирующее или максимизирующее некоторый критерий (целевую функцию), при заданной системе ограничений.

Если оптимизация проводится по параметрам, то ее называют параметрической; если же оптимизируется последовательность технологических операций, состав оборудования, ее называют структурной.

В методическом отношении исследование операций разделяется на этапы: разработка математической модели явления (операции); выбор критерия оценки качества; подготовка (систематизация) необходимой информации и исследование модели математическими методами. Отыскание оптимального решения называют математическим программированием.

Охарактеризуем в краткой форме каждый из указанных этапов решения оптимизационных задач [5].

Модели функционирования технических объектов необходимы для нахождения оптимальных характеристик. Построение модели начинается с четкого уяснения и формулирования цели исследования. Далее необходимо выявить основные процессы, протекающие в объекте, и факторы, определяющие их протекание. С учетом указанного строится математическая модель, в которой получают отражение основные процессы и вызываемые ими изменения в исследуемом показателе.

При этом возможны два подхода:

Физический, когда в основе модели лежат закономерности физико-химических процессов (явлений), протекающих в объекте.

Экспериментально-статистический, базирующийся на статистической обработке опытных данных.

При параметрической оптимизации схема модели представляется в виде черного ящика (рис. 19). На входе управляемые переменные х, контролируемые, но не управляемые переменные г и случайные возмущения е. На выходе - оцениваемые переменные у (отклик).

Рис. 19. Представление объекта при параметрической оптимизации

При этом оптимизация сводится к нахождению и реализации таких способов варьирования управляемыми процессами, при которых в рамках установленных ограничений обеспечивается получение экстремума (максимума или минимума) целевой функции, несмотря на изменение контролируемых переменных и влияние случайных возмущений.

Критерий (целевая функция), будучи показателем операции, должен быть представительным (соответствующим цели исследования), чувствительным к исследуемым параметрам и по возможности простым. Желательно также, чтобы критерий был единственным; в случае необходимости оптимизации по нескольким параметрам из них обычно выбирают наиболее важный, а остальные переводят в ограничения. Общей формой критерия в этом случае будет математическое ожидание затрат (в различном выражении, например, через стоимость) при заданной эффективности (она выступает в виде ограничения), т.е.

.

Возможна и обратная постановка задачи. Оптимальным решением является такое, которое обеспечивает максимум эффективности при фиксированных затрат, т.е.

при .

Соответственно этой общей форме критерии могут конкретизироваться с выражением затрат, например по массе, объему и т.п.; эффективность может выражаться также через количество произведенных изделий, полезное время работы и другие параметры.

Могут быть и более частные ограничения, например по массе, габаритам, перегрузкам.

В качестве характеристик исследуемых технических объектов используются производительность, надежность, стоимость, весовые параметры и габаритные размеры. Наибольшие практические трудности возникают при оценке стоимости, во-первых, потому, что ее определению до перехода к рыночной экономике не уделялось должного внимания и не накоплен в этом плане необходимые опыт и навыки, во-вторых, рыночные цены помимо производственных затрат и издержек определяются еще и конъюнктурой рынка (спросом). Вместе с тем это не является препятствием для рассмотрения (изучения) методологии оценки влияния стоимости при оптимизации, поскольку она не зависит от количественного выражения стоимости. В связи с этим при дальнейшем изложении будем оперировать ценами, имеющими условный характер.

В целях облегчения формирования необходимой информации по стоимостям в будущем приведем некоторые практически важные рекомендации [33].

Существуют общие зависимости, связывающие стоимость С детали (узла) с точностью ее изготовления и надежностью :

, (17)

где А, В, h - коэффициенты; δ - допуск на изготовление;

, (18)

где и α – коэффициенты.

Для каждого типа технического устройства имея опытные данные с использованием методов аппроксимации можно получить зависимости вида

, (19)

или

, (20)

где ζ_i- - характеристика технического устройства; - коэффициенты.

Напомним также, что стоимость эксплуатации исследуемого объекта применительно ко всем режимам определяется затратами на энергетику, текущий и капитальный ремонт, на содержание обслуживающего персонала.

Математическое программирование - это план действия (программа) и методология решения оптимизационных задач. Главным вопросом здесь является выбор математического метода. Не существует одного метода, лучшего, чем все остальные, для решения всех типов задач [12]. Более того, одна и та же задача может быть решена разными методами. В связи с этим математическое программирование требует творческих усилий, умения учитывать специфику постановки задач.

Задачи оптимизации по виду целевой функции и задаваемым ограничениям можно разделить на линейные и нелинейные [1].

Задачи линейного программирования обычно сводятся к распределению ограниченных ресурсов по нескольким взаимно связанным по цели и использованию ресурсов видам производственной деятельности. Соответствующие модели характеризуются линейными функциями с ограничениями. Напомним, что линейность означает наличие двух свойств - пропорциональности и аддитивности.