Материал: Математическое моделирование. приобретение навыков разработки и использования моделей в машиностроении. Копосов В.Н

В общем случае при решении задач линейного программирования требуется найти набор переменных, максимизирующих (минимизирующих) функцию вида

(21)

при ограничениях

для

В случае двух и трех переменных задача легко решается графически. Общим же методом решения таких задач является симплекс-метод. Симплексом называется k-мерный выпуклый многоугольник, имеющий вершин (симплекс нулевой размерности - точка, одномерный симплекс - отрезок прямой, двумерный - треугольник и т. д.).

Сущность симплекс-метода заключается в последовательном (упорядоченном) вычислении значений целевой функции, начиная с некоторой исходной допустимой точки до тех пор, пока не будет найдено оптимальное значение. При этом каждая последующая (угловая) точка должна быть смежной с предыдущей; переход осуществляется по границам (ребрам) многоугольника; процесс решения продолжается до получения оптимального плана [8].

Если все или некоторые переменные принимают целочисленные значения, то задача является целочисленной (полностью или частично). Решение целочисленных задач затрудняется появлением ошибок округления, что особенно важно при малых значениях переменных. Такие задачи решаются методом отсечения или комбинаторными методами. В первом случае путем введения дополнительных ограничений многогранник допустимых решений постепенно деформируется до тех пор, пока координаты оптимального решения не станут целочисленными. В основе второго метода лежит идея перебора всех допустимых целочисленных решений с разбиением пространства решений и отбрасыванием областей, не содержащих допустимых целочисленных решений.

Задачи нелинейного программирования очень многообразны и отличаются большей сложностью; для них характерно наличие нелинейных функций [23]. Таким задачи могут быть без ограничений и с ограничениями в виде равенств и неравенств.

Если модель характеризуется дифференцируемыми функциями без ограничений, решение основывается на отыскании корней уравнений:

при одной переменной

при двух переменных

Если модель представлена сложными функциями - функционалами, в которых роль независимых переменных играют функции, применяют методы вариационного исчисления.

Если модель представляется функциями, для которых вычисление производных методами анализа практически невозможно, следует переходить к численным методам. Самым простым и универсальным приемом отыскания экстремума при этом является полный перебор (пассивный поиск).

Сущность этого приема заключается в вычислении значений функции при различных (всех) значениях аргумента с последующим сопоставлением результатов (метод сравнения). Такой перебор из-за большого объема вычислений приемлем лишь при сравнительно малом числе возможных вариантов; особенно он эффективен при дискретных значениях аргумента.

Значительного сокращения объема вычислений можно достичь при применении направленного перебора.

Особенно эффективным для функции с одной переменной является метод прямого поиска. При этом, прежде всего устанавливаются границы интервала, относительно которого точно известно, что он содержит точку экстремума. Затем этот интервал делится либо пополам, либо на какое-то другое число (с учетом ситуации на предыдущем шаге поиска). Теоретически длина оставшегося интервала может быть сделана сколь угодно малой. Надо, однако, иметь в виду, что отыскание экстремума гарантируется только применительно к унимодальной (одноэкстремальной) функции.

Другим эффективным методом направленного перебора является градиентный метод, приемлемый для задач с дважды непрерывно дифференцируемыми целевыми функциями. Идея метода заключается в построении последовательности точек в направлении наискорейшего увеличения (уменьшения) значения функции. При этом поиск начинается с вычисления функции в точке, которая интуитивно представляется наиболее близкой к точке экстремума по соображениям общего характера (эвристическая точка). Затем берется вторая точка (шаг поиска ) и находится приращение ; в зависимости от знака приращения поиск продолжается вправе или влево с вычислением следующего значения и т. д. до момента, когда приращение обращается в ноль (при непрерывном изменении аргумента будет остаточный интервал неопределенности L< + , где - приращение переменной перед последним сопоставлением).

Часто применяемым методом решения оптимизационных задач с ограничениями в виде равенств является метод Лагранжа. При этом исследуемую функцию представляют в виде функции Лагранжа

. (22)

Условиями наличия экстремума в этом случае будут

Это означает, что задача оптимизации целевой функции при наличии ограничений g(x_i) = 0 сводится к нахождению безусловного экстремума функции Лагранжа L(x_i; λ_i). Методом множителей Лагранжа можно решать и задачи с ограничениями в виде неравенств, преобразуя их к виду равенств путем введения соответствующих дополнительных переменных.

Среди существующих методов решения оптимизационных задач особое место занимает динамическое программирование. Этот метод в известной мере универсален, с его помощью решаются многие из задач, как с нелинейными, так и линейными функциями.

Динамическое программирование - это поэтапный метод оптимизации, приемлемый для решения задач, допускающих декомпозицию. При этом однократное решение сложной задачи заменяется многократным решением более простой; каждое последующее решение должно быть оптимальным относительно состояния в результате предыдущего решения (принцип оптимальности). Соответственно этому выстраивается и вычислительная процедура; задача решается в прямом или обратном направлении, причем в последнем случае, как правило, достигается более высокая эффективность.

Лекция 12 Оптимизация выбора материала

Проблема оптимизации выбора материала в машиностроении возникла в связи с необходимостью обеспечения высокого качества изделий, расширением номенклатуры применяемых материалов и усложнением технологии их обработки; опыта технолога и интуиции стало недостаточно.

Об оптимальности выбора материала можно говорить лишь применительно к тем или иным конкретным условиям, которые должны быть отражены в требованиях к изделию. С учетом этих требований задача оптимизации решается либо методом сравнения с полным перебором, либо математическим моделированием функционирования объекта во всех режимах эксплуатации.

Оптимизация выбора материала методом сравнения

Напомним, что оптимизация выбора материалов производится применительно к перечню уже выбранных на основании материаловедческого анализа марок, удовлетворяющих требованиям к соответствующим объектам.

В простейшем случае, когда априори ясно, что функционирование объекта однозначно оценивается одним из свойств, для оптимизации выбора материала достаточно провести сопоставление конкурирующих вариантов (метод сравнения).

Сравнительный анализ марок перечня производится прежде всего по определяющим показателям свойств и по стоимости. В ряде случаев представляется целесообразным также дополнительная оценка путем сравнения возможных вариантов по технологичности, дефицитности и экологическим последовательностям их применения.

Сравнительная оценка по свойствам

К числу оценочных показателей следует отнести служебные показатели и стоимость материалов во взаимосвязи с их физико-механическими свойствами. Из числа последних выбираются показатели, влияющие на работоспособность объектов (ГОСТ 15467-79).

Для конструкционных материалов это чаще всего характеристики прочности или жесткости, а также допустимой деформации. Соответственно этому проведем для примера сравнительную оценку по прочностным характеристикам. С этой целью сопоставим количественные уровни соответствующих показателей, взятые из справочников, ГОСТов и других нормативно-технических документов. Но такое сравнение не может в полной мере определить целесообразность использования того или иного материала, так как указанные показатели никак не связаны с массой, а именно она определяет материалоемкость деталей.

Так, термообработанная сталь 30ХГС по значению предела прочности cжав = 1100 МПа превосходит состаренный сплав Д16 = 480 МПа, но плотность стали 7,8, а сплава 2,8 т/м3. Для учета этой разницы часто пользуются относительной (удельной) величиной /pg (р - плотность); в этом случае для указанных материалов соответственно получаем 14,4 и 17,5 км (разрушающая длина стержня под действием собственного веса). С учетом плотности, следовательно, сплав оказался лучше стали. В табл. 4 для примера приведены характеристики удельной прочности K0 некоторых, в том числе различных по природе материалов.

Необходимость учитывать плотность материала особенно заметна при сопоставлении материалов с различной полностью. Так, титановый сплав ВТ-22 по удельной прочности более предпочтителен, чем сталь повышенной прочности 30ХГСН2А, а полимерные композиционные материалы-волокниты превосходят по удельной прочности даже высокопрочную мартенситно-стареющую сталь.

Таким образом, сравнительную оценку материалов с различной плотностью надо производить по удельным показателям (в данном случае - по удельной прочности).

Вместе с тем, и такая оценка не является исчерпывающей, потому что при ней не учитывается однородность материала (разброс свойств); она обусловливается технологией производства и, как правило, неодинакова у различных материалов. В целях учета различий в однородности материалов их сравнительная оценка должна производиться по критерию, связанному с надежностью предполагаемой детали (изделия) [14]. Характер этого критерия зависит от распределения рассматриваемого показателя свойств.

Решение задачи обычно начинается с построения сети (дерева), уяснения состояний с учетом связей между этапами, объема и характера необходимой информации. В общей постановке задачу динамического программирования и методологию ее решения можно сформулировать следующим образом.

Из множества допустимых решений (управлений) найти такие, которые приводят систему из начального состояния в конечное таким образом, что некоторый критерий Е достигает экстремального значения, т. е.

при

Заметим, что функция достигаемого эффекта может быть как суммой, так и произведением, т. е.

(23)

или

, (24)

где - ресурс; K_j - варианты (переменные).

Наиболее типичными для динамического программирования являются задачи распределения, в которых какие-то ресурсы (капитальные вложения, масса, надежность и пр.) направляются на удовлетворение тех или иных потребностей (состояния - количество выделяемых ресурсов), замену изношенного и устаревшего оборудования (состояния - время работы объекта).

Применение аналитических методов всегда предпочтительнее, так как при этом можно исследовать влияние разных факторов на искомое решение. Из численных методов наиболее общим и пригодным для решения задач оптимизации является динамическое программирование. В ряде случаев (при сравнительно малом числе вариантов) достаточно эффективен и самый простой метод полного перебора. Наконец, если задачу можно сформулировать в линейной постановке, то ее можно считать решенной. Если же приходится пользоваться методами поиска, предпочтение следует отдавать направленному поиску.

Иногда возникает необходимость оптимизации при нескольких выходных параметрах, каждый из которых имеет свой физический смысл и свою размерность. В качестве обобщенного критерия при этом в принципе можно использовать функции желательности. При переходе к ним натуральные значения частных откликов преобразуются в безразмерные шкалы желательности; нижняя граница нуль - абсолютно неприемлемое значение; верхняя граница единица - наилучшее значение функции [22]. Построение шкалы желательности - это способ формализации представлений заинтересованных лиц о важности частных значений откликов, что естественно не лишено субъективности. При решении таких задач, во всяком случае, связанных с выбором материалов и упрочняющих технологий, представляется более целесообразным находить искомый компромисс сопоставлением значений (диаграмм) частных критериев по возможным вариантам с учетом мнений разработчиков и заказчиков (потребителей).

Для случая нормального распределения в применении к какому-либо показателю качества X он имеет вид:

а для предела прочности:

где U - параметр центрированной нормированной функции распределения;

Vx,Va - коэффициенты вариации.

Из этой зависимости видно, что оценка по удельной прочности без учета надежности справедлива лишь при условии полной однородности, т. е. отсутствия разброса свойств в материале

Результаты расчетов по указанному критерию для некоторых материалов приведены в той же табл. 4 . Назовем полученные оценки удельными с учетом надежности (в данном случае удельная прочность с учетом надежности). Полученные оценки отличаются от соответствующих оценок без учета надежности, и тем сильнее, чем больше разброс свойств. Это заметно уже при сравнении сталей. Так, сталь 18Х2Н4МА по удельной прочности без учета надежности превосходила сталь 30ХГСА, а с учетом - уступает ей (при Р = 0,999).

Более характерно это, однако, для сравнения металлических материалов с неметаллическими, отличающимися большей неоднородностью свойств. Так, эпоксистеклотекстолиты при прочности 400 МПа по удельной прочности превосходят сплав Д16 (20,4 вместо 17,5 км), а с учетом надежности даже при Р= 0,977 уступают ему (15,91 и 16,66). Вместе с тем надо отметить, что наибольшей удельной прочностью, несмотря на разброс свойств, обладают полимерные композиционные материалы типа СВАМ, стекло-, карбо- и борволокниты.

Вопросы сравнения материалов рассмотрены применительно к прочности. Однако так можно поступать и применительно к другим показателям механических свойств, в частности к модулю упругости. Полезным может оказаться такой подход и к сравнению по физическим свойствам материалов.

Заметим также, что если в процессе эксплуатации предполагаемых изделий возможны изменения свойств материала, то надо прежде всего оценить эти изменения по соответствующим зависимостям и, приняв полученные оценки за исходные, провести сравнительную оценку материалов по предлагаемой схеме.

Удельная прочность материалов Таблица 4.