Курсовая работа (т): Математическое моделирование каскада реакторов идеального смешения

Метод Бокса-Уильсона справедлив тогда, когда на выходной параметр влияют две величины и экстремум выглядит в виде некоторого поля. В этом случае уравнение целевой функции описывает  некоторую поверхность, которая называется поверхностью отклика. Здесь берётся некоторая начальная точка и в ней проводится эксперимент, а далее делаем пошаговое движение, пока последняя точка не станет хуже, чем предыдущая. С каждым изменением направления целесообразно изменять шаг.

Метод параллельных касательных заключается в следующем. Из двух произвольных точек, не лежащих на одной прямой заданного направления, проводят два спуска по направлению и находят две точки оптимумов. Далее оптимум ищут на прямой, соединяющей эти точки.

Симплексный метод. В организации алгоритма поиска используется важное свойство симплекса: против каждой вершины находится только одна грань. В окрестности начальной точки строим симплекс, затем находим самую «плохую» его вершину и на противоположной грани строим новый симплекс, отличающийся от исходного только одной вершиной. После построения нового симплекса требуется лишь одно вычисление критерия оптимальности: только в новой вершине.

Исходные данные

В       двух  последовательно расположенных  аппаратах идеального смешения производительностью V=0.41 м3/мин, при степени превращения xA=0,78 и начальной концентрации CA0 =2 кмоль/м3 и CB0 =0 кмоль/м3

 протекает реакция, описываемая уравнением вида:

A

Рассматриваемая реакция является гомогенной, и будет протекать в среде высококипящего растворителя.

Взяв в качестве критерия оптимизации суммарный объём всех ступеней каскада двух аппаратов, нам необходимо рассчитать установку для получения вещества В из вещества А при следующих исходных данных:

степени превращения реакции xA

объёмном расходе вещества через аппарат V

количестве аппаратов в каскаде

Также нам задана зависимость констант скорости реакции от температуры, которая представлена в виде таблицы

1.Таблица 1. Зависимость константы скорости химической реакции от температуры.

Определение параметров уравнения Аррениуса

Так как в качестве параметра оптимизации мы выбрали суммарный объём аппарата, то нам необходимо его минимизировать, то есть снизить материалоёмкость, но так как чтобы это не сказывалось отрицательно на всём проводимом процессе. Минимальным объём аппарата будет в том случае, когда скорость химического процесса максимальна.

Vmin→WrAmax (1.1)

В общем случае уравнение химической реакции будет иметь вид:

WrAmax=k1CA- k2CB          (1.2)

В последней формуле фигурирует константа скорости реакции, которую мы можем определить с помощью уравнения Аррениуса.

k=k0exp(-E/RT) (1.3)

где k0­ - предэкспоненциальный множитель, который зависит от числа столкновений реагирующих молекул, с-1; E- энергия активации, дж/кмоль;

T- температура процесса, К; k - константа скорости химической реакции, с-1

Проще всего повлиять на соотношение λ=k2/k1 , изменив температуру проведения реакции, так как температура является одним из технологических параметров, в наибольшей степени влияющим на скорость химической реакции. Рассмотрим влияние температуры на скорость химической реакции более подробно.

Экспериментально при изучении кинетики химических реакций было обнаружено, что при увеличении температуры на 10° скорость реакции увеличивается в 2-4 раза. Более строго эта зависимость выражается в виде уравнения Аррениуса.

Т.к. реакция, протекающая в нашем аппарате обратимая, то разность энергий активации прямой и обратной реакций равна тепловому эффекту реакции.

Энергия активации элементарной реакции - это минимальный избыток энергии над средней внутренней энергией молекул, необходимый для того,

чтобы произошло химическое взаимодействие (энергетический барьер, который должны преодолеть молекулы при переходе из одного состояния реакционной системы в другое).

Предэкспоненциальный множитель k0 учитывает число соударений, вероятность распада активированного комплекса реакции на исходные реагенты без образования продуктов реакции, пространственную ориентацию молекул реагентов, а также ряд других факторов, влияющих на скорость реакции и не зависящих от температуры.

С учётом полученного уравнения Аррениуса вновь запишем уравнение для максимальной скорости химического процесса.

WrAmax = k01exp(-E1/RT)CA- k02exp(-E2/RT)CB­ (1.4)

Судя по этому уравнению скорость, будет максимальной тогда, когда температура будет оптимальной. Так как согласно заданию у нас обратимая реакция, то мы будем иметь:

 (1.5)

Для нахождения максимальной скорости         в каждом случае нам необходимо знать предэкспоненциальный множитель и энергию активации. Таким образом, чтобы провести оптимизацию процесса нам необходимо знать четыре параметра всего из двух уравнений. Поэтому на первом этапе нашей работы необходимо определить параметры уравнения Аррениуса. В нашем случае составляются два уравнения, которые будут решаться совместно: одно для прямой реакции, а другое для обратной. Такая система будет иметь вид:

 (1.6)

Для решения подобной системы используется либо графический, либо

аналитический метод (метод наименьших квадратов).

Графический метод

Решение нашей системы начнём сначала с рассмотрения одного уравнения. Так для прямой реакции мы имеем:

ln k1 = lnk0 - E1 /RT (1.7)

y        b        a        x=1/T

Данную запись можно пояснить тем, что уравнение Аррениуса с одной стороны это уравнение прямой в логарифмической системе координат, а именно:

y = ax + b (1.8)

Для удобства решения и облегчения задачи составим следующую таблицу:

Таблица 2. Исходные данные для графического метода.

Для прямой реакции составим следующую систему:

 (1.9)

Здесь мы имеем два уравнения и две неизвестные, а именно:

Lnk01→k01 и E1/R→E1

С учетом данных таблицы 2 система, составленная для прямой реакции, будет иметь вид:

Для дальнейшего решения системы примем следующие обозначения ln k01­=c и  . С учетом принятых обозначений запишем:

;  ; ;

Из системы мы находим:

lnk1=21,0432→ k01=e21,0432=1377037101=1.38*10­9

=9313,26; E1=9313,26*8.314=77430,44

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

Рисунок 1. Графическое изображение уравнения Аррениуса для прямой

реакции в логарифмической системе координат.

Теперь составим систему, но уже для обратной реакции.

 (1.10

)

Подставив в систему данные из таблицы 2, согласно принятым обозначениям получим:

Также как и в случае решения системы для прямой реакции примем следующие обозначения ln k02­=c и  . С учётом принятых обозначений запишем:

;  ; ;

Теперь определим из данной системы основные параметры уравнения Аррениуса для обратной реакции:

lnk02=30.116 → k01=e30.116=1,2*10­13

=; E2=*8.314=121322,876

Рисунок 2. Графическое изображение уравнения Аррениуса для обратной

реакции в логарифмической системе координат.

Определение оптимальной температуры

Расчет скорости химической реакции

В отличие от изотермических реакторов, в которых температура остаётся неизменной в процессе реакции, и адиабатических реакторов, в которых изменение температуры в процессе реакции жёстко связано со степенью превращения и величиной теплового эффекта реакции, в политропических реакторах изменение температуры может происходить независимо от величины теплового эффекта реакции и степени превращения по любому закону. В связи с этим возникает проблема оптимизации аппаратов нашей установки по температуре, то есть проблема определения оптимального профиля (во времени или в пространстве) температуры, при которой скорость процесса в любой бы момент времени или в любом сечении аппарата была бы максимально возможной.

Рассмотрим механизм оптимизации обратимой реакции первого порядка, кинетика которой описывается уравнением:

Wr= CA0 CA0(1-xA)k01E1exp()- CA0xAk02exp () (2.1)=CA0(1-xA)k01E1exp() - CA0xAk02exp ()=0 (2.2)

=0 (2.3)

Здесь производная имеет вид обыкновенной дроби, так как знаменатель нулю мы приравнять не можем, то тогда запишем:

 (2.4)

= exp(/RT) (2.5)

Последнюю запись уравнения прологарифмируем:

Ln()=/RT (2.6)

Из этого уравнения выразим значение оптимальной температуры:

 (2.7)

По заданным начальным концентрациям и степени превращения определим концентрации веществ А и В:

=0,44 кмоль/ (2.8)

= 2*0.78= 1,56 кмоль/                         (2.9)

По найденным значениям концентрации численно определим оптимальную температуру:

= 489.49 K

На практике уравнение для оптимальной температуры чаще принято и удобнее представлять в следующем виде:

= ( 2.10)

Здесь , вид которой зависит от типа и порядка обратимой реакции, но, так как у нас обратимая реакция первого порядка, то мы будем иметь:

Следует иметь в виду, что на начальное значение температуры всегда накладываются ограничения, обусловленные экономическими или техническими соображениями. Определившись со значением оптимальной температуры, по формуле найдём значение максимальной скорости реакции, протекающей в наших аппаратах:

exp(-)-exp(-/R)                       (2.11)

Подставив в последнюю формулу числовые значения параметров, будем иметь:

0,44 -) 1,56= 1.198802 кмоль/

В этом разделе мы нашли значение оптимальной температуры, необходимое нам для определения максимальной скорости. Полученное значение максимальной скорости в свою очередь позволяет определить нам экстремум целевой функции (минимальный объём аппаратов). Здесь сразу стоит заметить, что объём наших аппаратов, а, следовательно, и их габаритные размеры могут не совпадать.

Расчёт установки для получения продукции Определение зависимости оптимальной скорости химической реакции от степени превращения