Курсовая работа (т): Математическое моделирование каскада реакторов идеального смешения

Математическое моделирование каскада реакторов идеального смешения

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Ярославский государственный технический университет» Кафедра «Технологических машин и оборудования»

Математическое моделирование каскада реакторов идеального смешения

Курсовая работа по курсу:

«Математическое моделирование технологических систем»

Реферат

Оптимизация технологического процесса в каскаде реакторов идеального смешения.

Уравнение Аррениуса, энергия активации, константа скорости, оптимальная температура, максимальная скорость реакции, оптимизация процесса, степень превращения реакции, суммарный реакционный объём аппарата, влияние температуры на суммарный объём.

Объектом исследования служит каскад реакторов идеального смешения, состоящий из двух аппаратов.

Цель работы - по заданным исходным данным рассчитать установку для получения вещества В из вещества А, с минимальным суммарным объемом. При расчёте каскада реакторов нами использован аналитический метод оптимизации детерминированных моделей.

Эффективность с проектированной установки обеспечивает оптимальная температура (в разумных пределах, чтобы не разрушался сам аппарат) и минимальны суммарный реакционный объём.

Результатом нашего расчета являются найденные значения реакционного объема каждого аппарата и минимальный

Введение

Под химической технологией в широком значении этого слова понимается научное описание методов и средств производства в химической промышленности. Этим и обусловлено бурное развитие методов математического моделирования как дисциплины. Процессы химической технологии включают химическую переработку сырья, основанную на сложных по своей природе химических и физико-химических явлениях. Современная химическая технология, используя достижения естественных и технических наук, изучает и разрабатывает совокупность физических и химических процессов, машин и аппаратов, оптимальные пути осуществления этих процессов и управления ими при промышленном производстве различных веществ, продуктов, материалов, изделий. Значительный прогресс в химической технологии в последние годы связан с применением современных вычислительных средств для решения теоретических и прикладных задач. Применение вычислительной технике не только позволило ставить и решать сложные задачи, но и обогатило химическую технологию новыми подходами к их решению, связанными с математическим моделированием и системными исследованиями.

Химическая промышленность является одной из ведущих отраслей российской промышленности; ей принадлежит определяющая роль в ускорении научно-технического прогресса, повышении эффективности общественного производства, материального и культурного уровня жизни людей. Научной основой химической и смежных с нею отраслей промышленности является химическая технология, а базой технического прогресса этих отраслей - химическое машиностроение.

Большинство процессов химической технологии имеют двойственную детерминированно-стахостическую природу, проявляющуюся в наложении стахостических особенностей гидродинамической обстановки в аппарате на процессы массо-, теплопереноса и химического превращения. Это объясняется случайным взаимодействием составляющих компонентов фаз или случайным характером геометрии граничных условий в аппарате. Подобного рода системы характеризуются чрезвычайно сложным взаимодействием составляющих их фаз и компонентов, вследствие чего изучение их с позиции классических детерминированных законов переноса и сохранения становится невозможным. Ключ к решению этой проблемы даёт метод математического моделирования, базирующийся на стратегии системного анализа,       сущность    которой заключается в представлении процесса как сложной взаимодействующей иерархической системы с последующим качественным анализом её структуры. Разработкой математического описания и оценкой неизвестных параметров. Под математическим моделированием понимается изучение свойств объекта на основе математической модели. Его целью является определение оптимальных условий протекания процесса. Управления им на основе математической модели и перенос результатов на объект.

Обзор и анализ существующих методов оптимизации химико-технологических процессов

Оптимизация заключается в нахождении оптимума рассматриваемой функции или соответственно оптимальных условий проведения данного процесса. Для оценки оптимума необходимо, прежде всего выбрать критерий оптимизации. Здесь в качестве оптимальных параметров мы выбираем оптимальную температуру, при которой скорость нашей химической реакции будет максимальной и минимальный суммарный объём реакторов. Будем считать, что именно эти два параметра в наибольшей степени будут определять эффективность данной установки. На основании выбранных критериев оптимизации составляем так называемые целевые функции, или функции

выгоды Vmin=f(Wrmax) и Wr=f(x) представляющие собой зависимость критерия оптимизации от параметров, влияющих на его значение. Задача оптимизации сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) целевой функции. Здесь у нас в первом случае будем находить максимум скорости, а во втором случае - максимальную степень превращения.

Для автоматически управляемых процессов или систем различают две стадии оптимизации: статистическую и динамическую. Статистическая оптимизация решает вопросы создания и реализации оптимального стационарного режима процесса, а динамическая - создания и реализации системы оптимального управления процессом.

В зависимости от характера рассматриваемых математических моделей применяются различные математические методы оптимизации.

Аналитические методы являются классическими методами определения экстремального значения функции (минимума или максимума). Они применяются, когда оптимизируемые функции заданы аналитически и число независимых переменных невелико.

Аналитический поиск экстремума или принцип максимума представляет собой совокупность ряда теорем теории оптимальных процессов, содержание которых устанавливает необходимые условия для построения оптимального закона управления процессом.

Метод множителей Лагранжа обычно используется для рассмотрения детерминированных процессов, описываемых дифференцируемыми функциями с ограничениями в виде неравенств. Каждое ограничение добавляет ещё одно уравнение и на каждое ограничение вводится один множитель Лагранжа. Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе программирования, где с их помощью иногда удаётся снизить размерность решаемой задачи.

Вариационные методы используются в том случае, когда критерии оптимальности заданы в виде функционалов. Базируются вариационные методы на решении уравнения Эйлера. Применение их направлено, прежде всего, на исследование многослойных адиабатических реакторов, а также на определение оптимального температурного режима обратимых экзотермических реакций в слоях идеального вытеснения.

Принцип максимума Понтрягина позволяет решать задачи широкого класса; особенно задачи оптимального управления.

Методы математического программирования

Метод геометрического программирования имеет одно очень существенное преимущество, а именно он позволяет свести сложную задачу оптимизации нелинейного соотношения к решению системы линейных алгебраических уравнений, то есть. минимизирует выкладку математических выражений.

Линейное программирование состоит в нахождение экстремума критерия оптимальности в задачах с линейными уравнениями. Характерными для данного метода задачами являются: задача изготовления различной продукции с максимальным доходом при различных видах сырья; задача оптимального использования оборудования; транспортная задача.

Динамическое программирование применяется для многостадийных процессов, характеризуемых последовательностью решений, когда состояние системы зависит только от предыдущего шага и не зависит от ранее сделанных шагов. Основная идея динамического программирования заключается в том, что если какой либо поток изменяется на каждой стадии процесса, то если на последней стадии режим работы не будет оптимальным по отношению к поступающему на неё потоку, не будет оптимальным и режим всего многостадийного процесса в целом.

Градиентные методы оптимизации относятся к численным методам поискового типа. Эти методы универсальны и весьма эффективны в большинстве случаев поиска экстремального значения нелинейных функций с ограничениями и без них, а также, когда функция вообще аналитически неизвестна. Сущность градиентных методов заключается в определении значений независимых переменных, дающих наибольшие изменения целевой функции.

Метод наискорейшего спуска (крутого восхождения) осуществляется по следующей схеме: сначала мы определяем частные производные двух переменных, затем находим градиент, направление которого совпадает с направлением «наискорейшего спуска». Затем начинаются рабочие шаги по направлению, противоположному направлению градиента. После каждого рабочего шага оценивается приращение целевой функции. Если оно оказывается отрицательным, это означает, что движение происходит в верном направлении. Иначе этот метод называют методом двух производных.

Метод градиента заключается в том, что после определения градиента делается один рабочий шаг, а затем в новой точке опять начинается серия пробных движений. Такой метод поиска обеспечивает более точное установление минимума, чем метод наискорейшего спуска, так как кроме того, он ещё позволяет быстрее приблизиться минимуму.

Метод крутого восхождения при наличии ограничений основывается на следующем. Сперва выбирается базисная точка так, чтобы она лежала в пределах ограничений, и поиск ведётся по методу крутого восхождения. После расчёта следующей точки оценивается: не произошло ли нарушения ограничений; если нарушения нет, поиск продолжается.

Метод сопряжённых градиентов является попыткой объединить достоинства градиентных методов первого и второго порядка с исключением их недостатков. На начальных этапах метод ведёт себя как метод первого порядка, а в окрестностях оптимума приближается к методам второго порядка.

Метод тяжёлого шарика. Метод базируется на аналогии с движением

«тяжёлого» материального шарика по наклонной поверхности. Скорость шарика при движении вниз будет возрастать, и он будет стремиться занять нижнее положение, то есть точку минимума. Также и здесь вдали от оптимума поиск будет ускоряться, а вблизи возможны колебания около точки минимума.

Автоматические методы с самонастраивающимися моделями. Автоматические методы применяются для поиска оптимума для нахождения заданного оптимума непосредственно на объекте.

Слепой поиск является очень простым и наглядным методом. Случайным образом в допустимой области берётся точка и сравнивается значение критерия в ней с текущим наилучшим. Если новая случайно взятая точка хуже хранящейся в качестве лучшей, то берут другую точку. Если же нашли точку, в которой критерий лучше, то её запоминают в качестве текущей лучшей.

Сканирование представляет собой частный случай метода слепого поиска, при нём точки области одна за другой просматриваются в определённом порядке, например строчка за строчкой.

Чисто случайный поиск предполагает случайный выбор точек на плоскости с неизменным законом распределения. Он пригоден лишь для сравнительно простых случаев, и область его применения ограничена.

Поиск анализом промежуточных результатов. Здесь программа поиска не установлена заранее, а зависит от результатов предшествующих наблюдений.

Метод локального поиска - имеет особенно важное практическое значение. При локальном поиске изображающая точка перемещается по некоторой линии, причём пробные перемещения позволяют определить направление, в котором следует перемещаться, чтобы уменьшить значение функции.

Метод случайных направлений содержит в себе следующую идею: из заданной начальной точки делается шаг в случайном направлении. Если значение целевой функции в новой точке меньше чем в предыдущей при поиске минимума критерия оптимальности, то новая точка принимается за текущую и из неё делаются шаги в надежде найти новую точку. Если

значение функции в новой точке больше значения в предыдущей точке, то делаются новые попытки, но уже с другим шагом.

Метод поиска с «наказанием случайностью». Метод является аналогом метода наискорейшего спуска, только направление локального поиска не градиентное, а случайное. Как и в предыдущем методе, из текущей точки делают случайные шаги до тех пор, пока не будет найдена точка с лучшим значением критерия оптимальности.

Метод с «блуждающим» поиском. Данный метод является статистическим расширением градиентного метода и реализуется в соответствии с алгоритмом. Который наиболее вероятно приводит к глобальному экстремуму.

Метод деления пополам. Метод основан на делении отрезка, где содержится искомый экстремум, на две равные части с последующим выбором одной из половин, в которой локализуется максимум в качестве следующего текущего отрезка.

Метод золотого сечения. Метод основан на делении текущего отрезка, где содержится искомый экстремум, на две неравные части, подчиняющиеся правилу золотого сечения, для определения следующего отрезка, содержащего максимум.

Метод параболической аппроксимации. Метод заключается в замене нелинейной функции квадратичной параболой, построенной по трём точкам, принадлежащим целевой функции, используя аналитические условия оптимальности.

Статистические методы используются для объектов бездетерминированного описания, а также для оптимизации и планирования эксперимента.

Методы регрессионного анализа имеют значимое преимущество по отношению к другим методам при изучении зависимости от одного переменного параметра необходимого для определения вида уравнения регрессии.

В случае линейной регрессии одного параметра требуется определить по методу меньших квадратов коэффициенты линейного уравнения регрессии.

В Методе параболической регрессии главное уравнение представляет собой полином некоторой степени, то есть замена нелинейной функции квадратичной параболой, построенной по трём точкам, с последующим определением максимума параболической функции, используя аналитические условия оптимальности.

Метод Гаусса-Зайделя (метод покоординатного спуска) заключается в последовательном поиске оптимума целевой функции поочерёдно по каждой переменной, причём после завершения перебора всех переменных опять в общем случае приходится перебирать все переменные до тех пор, пока не придём к оптимуму.

Метод Розенброка направлен на ликвидацию одного из недостатков метода Гаусса-Зайделя - высокую чувствительность эффективности к выбору системы координат. Метод сводится, по сути, к отысканию «удачной» системы координат путём поворота исходных осей координат.