Материал: Лекция 1 по СМ для ФЭМТО 2021
Напряжения связаны с действующими в сечении внутренними силами. Для установления этой взаимосвязи, около некоторой точки с координатами (х, у) выделим элементарную площадку dA. Действую-
щие по этой площадке напряжения , x , y (см. рис. 1.10), создают
элементарные силы |
|
|
|
d N = dA, |
d Qx = х dA, |
d Qy = у dA |
|
и элементарные моменты относительно осей координат |
|||
dMx dA y , |
dMy dA x , |
dT y.dA x x.dA y . |
|
Суммируя все элементарные силы и моменты, действующие в сечении, получим следующие интегральные зависимости:
N dA; |
Qx x dA; |
Qy y dA; |
A |
A |
A |
M x y dA; |
M y x dA; |
Т ( y x z y) dA, (1.1) |
A |
A |
A |
где А – площадь сечения. |
|
|
Формулы (1) определяют зависимость внутренних сил N , Qx
Qy , M x , M y , Т от напряжений , x , y .
21
Понятия о перемещениях и деформациях |
|
||||||
Под действием внешних |
y |
|
|
|
|
||
сил любое тело деформирует- |
|
|
с1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
ся, его форма и размеры из- |
с |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
меняются. |
|
|
|
|
dу1 |
α1 |
в1 |
|
|
dy |
|
|
|
||
|
|
|
|
dx1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Выделим |
в |
теле |
|
|
а1 |
|
|
|
α |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
бесконечно малые отрезки ав |
а |
dх |
в |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
и ас, параллельные осям ко- |
О |
|
|
|
х |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ординат Ох и Оу, длиной dх и |
Рис. 1.11 Деформации и перемещения |
||||||
dу (рис. 1.11). |
|
|
|
элементарных отрезков |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
После деформирования тела точка а переместится в точку а1. |
|||||||
Величина аа1 называется линейным перемещением точки а. Проекция |
|||||||
отрезка аа1 на оси координат Ох и Оу обозначим через u и v. Эти вели- |
|||||||
чины называются перемещениями точек тела в направлении осей ко- |
|||||||
ординат. |
|
|
|
|
|
|
|
После деформации отрезки ав и ас займут новые положения |
|||||||
а1 в1 и а1 с1 Их длины изменятся и станут равными |
dx1 dx dx , |
||||||
dy1 dy dy . Величины |
dх и |
dу называются абсолютными линей- |
|||||
ными деформациями. |
|
|
|
|
|
|
|
Отношение изменения длины отрезка к его начальной длине |
|||||||
называется относительной линейной деформацией. |
Относительная |
||||||
|
|
|
22 |
|
|
|
|
деформация в направлении оси Ох равна x dх , а направлении оси dх
Оу – y dy . dy
Угол между отрезками ав и вс после деформации изменится и станет равным 1 Изменение этого угла ху 1 – называется
угловой деформацией.
В любой точке тела можно выделить отрезки dx, dy, dz парал-
лельные осям координат и определить перемещения u, v, w, линейные деформации x , y , z , а также изменения углов между этими отрезка-
ми – угловые деформации xy , xz , yz .
Совокупность перемещений u, v, w, линейных x , y , z и угло-
вых xy , xz , yz деформаций определяет деформированное состояние тела в точке.
Правила знаков для напряжений и внутренних сил
Особенность раздела механики «Сопротивление материалов» состоит в том, что в этом разделе рассматривается деформированное состояние твердых тел и используется метод сечений. Поэтому, воз-
никает необходимость введения правила знаков для напряжений и внутренних сил.
23
Так, если при использовании метода сечений разделить стер-
жень на две части, то на поверхности сечения каждой из частей будут действовать напряжения , х , у (рис.12) равные по величине и
у
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
О |
у |
|
х |
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
z |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
у |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.12 Напряжения в сечениях |
|
|
||||||
противоположно направленные. Они будут равны по величине и про-
тивоположно направлены, т.к. при совмещении разделенных частей эти напряжения должны взаимно компенсироваться.
Возникающие в теле напряжения связаны с деформациями. Про-
тивоположно направленные на разделенных частях тела напряжения связаны с одинаковой деформацией. Например, на рис. 1.12 напряже-
ния противоположно направлены, но «вызывают» одинаковую де-
формацию растяжения стержня в месте проведенного сечения.
24
Указанные особенности определяют необходимость введения
правила знаков для напряжений, из которых следуют правила знаков и
для внутренних сил.
Как и в методе сечений используем систему координат, ось Оz
которой, перпендикулярна к плоскости сечения, а оси Ох, Оу – распо -
ложены в сечении.
Примем следующие правила знаков для нормальных и касатель-
ных напряжений:
1) Нормальное напряжение считается положительным, ес-
ли оно направлено от сечения, т.е. вызывает растяжение.
2) В сечении, нормаль к которому направлена в сторону оси Оz,
положительные касательные напряжения х , у действуют направ-
лении осей Ох, Оу (рис. 1.12а).
3) В сечении, нормаль к которому направлена в сторону проти-
воположную оси Оz, положительные касательные напряжения х ,
у действуют в направлениях, противоположных осям Ох, Оу
(рис. 1.12б).
Аналогичные утверждения справедливы и для внутренних сил.
Если разделить стержень на две части, то на поверхностях каждой из частей будут действовать внутренние силы N , Qx , Qy , M x , M y , T
равные по величине и противоположно направленные (рис. 1.13).
25