Материал: Квантовая оптика. методические указания по физике для студентов всех специальностей факультета автоматизации и роботизации машиностроения. Агапитова Н.В., Деркачёва П.И

Выполнив преобразования, найдем:

.

Следовательно, максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых излучением,

М м/с

Ответ: 1) 1,08 М м/с; 2) 226 М м/с.

2.3. Давление света

Пример 2.3.1.

Пучок монохроматического света с длиной волны

λ₀ = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток энергии Ф_е = 0,6 Вт. Определить силу давления F, испытывае­мую этой поверхностью, а также число N фотонов, падающих на нее за время t = 5 с.

Решение.

Сила светового давления на поверхность равна произ-ведению светового давления р на площадь поверхности:

F = pS. (1)

Световое давление может быть найдено по формуле

ρ =E_e(ρ+1)/с (2)

Подставляя выражение (2)*давления света в формулу (1), получим

(3)

Так как произведение облученности Е_е на площадь S поверх­ности равно потоку Ф энергии излучения, падающего на поверх­ность, то соотношение (3) можно записать в виде

.

После подстановки значений Ф_е и с с учетом, что ρ = 1 (поверх­ность зеркальная), получим F=4 нН.

Число N фотонов, падающих за время Δt на поверхность, опре­деляется по формуле

,

где - энергия излучения, получаемая поверхностью за время Δt.

Выразив в этой формуле энергию фотона через длину волны , получим

N = Ф_eλΔt/(hc).

Подставив в этой формуле числовые значения величин, найдем N = 10¹⁹ фотонов.

Пример 2.3.2.

Параллельный пучок света длиной волны λ=500 нм падает нормально на зачерненную поверхность, производя давление р = 10 мкПа. Определить: 1) концентрацию n фотонов в пучке; 2) число n₁ фотонов, падающих на поверхность площадью 1 м² за вре­мя 1 с.

Решение.

1. Концентрация n фотонов в пучке может быть найдена, как частное от деления объемной плотности энергии w на энергию е одного фотона:

n = w/ε (1)

Из формулы p = w(1 + р), определяющей давление света, где

р - коэффициент отражения, найдем

w = p/(ρ+l). (2)

Подставив выражение для w из уравнения (2) в формулу (1), получим:

. (3)

Энергия фотона зависит от частоты γ, а следовательно, и от длины световой волны λ:

. (4)

Подставив выражение для энергии фотона в формулу

(3), опре­делим искомую концентрацию фотонов:

. (5)

Коэффициент отражения ρ для зачерненной поверхности прини­маем равным нулю.

Подставив числовые значения в формулу (5), получим

n = 2,52 ∙ 10¹³ м^-3.

2. Число n₁ фотонов, падающих на поверхность площадью 1 м² за время 1 с, найдем из соотношения n₁ = =N/(St), где N — число фо­тонов, падающих за время t на поверхность площадью S. Но N = ncSt, следовательно,

.

Подставив сюда значения n и с, получим

n₁ = 7,56 ∙ 10²¹ м^-1 ∙ с^-1.

Пример 2.3.3.

Давление солнечных лучей на парус площадью S = 200 м² равно р = 8 мкПа. Через какое время t лодка под этим парусом приобретёт скорость V = 40 м/с, если ее масса m = 200 кг и она движется без начальной скорости, не испытывая сопротивление окружающей среды? Какой путь L она пройдёт за это время?

S = 200 м²

p = 8 мкПа

V = 40 м/с

m = 200 кг

V₀ = 0

t - ?

L - ?

Решение

Из формул равнопеременного движения:

(1)

и V = V₀ + at (2)

для случая V₀ = 0 получим выражения для t и L:

(3)

V = at . (4)

Ускорение a найдем из второго закона Ньютона:

. (5)

Решив систему уравнений (3), (4), и (5), получим:

;

.

Ответ: t =5 10⁶ c; L = 1 10⁸ м.

2.4. Эффект комптона

Пример 2.4.1.

В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол = 90⁰. Энергия ε^’ рассеянного фотона равна 0,4 МэВ. Определить энергию ε фотона до рассеяния.

Решение.

Для определения первичного фотона воспользуемся формулой Комптона в виде

. (1)

Формулу (1) преобразуем следующим образом:

1) выразим длины волн и через энергии ε’ и ε соответствующих фотонов, восполь­зовавшись соотношением . 2) умножим числитель и зна­менатель правой части формулы на с. Тогда получим

.

Сократив на 2 , выразим из этой формулы искомую энергию:

(2)

где Е₀ = mc² - энергия покоя электрона.

Вычисления по формуле (2) удобнее вести во внесистемных еди­ницах. Взяв, значение энергии покоя электрона в мега-­электрон-вольтах и подставив числовые данные, получим

ε =1.85 МэВ.

Пример 2.4.2.

Фотон с энергией ε = 0,75 МэВ рассеялся на свобод­ном электроне под углом Θ = 60°. Принимая, что кинетическая энер­гия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебре­жимо малы, определить: 1) энергию t' рассеянного фотона; 2) кинетическую энергию Т электрона отдачи; 3) направление его движения.

Решение.

1.Энергию рассеянного фотона найдем, воспользовавшись формулой Комптона:

Выразив длины волн λ’ и λ через энергии ε’ и ε соответствующих фотонов, получим:

Разделим обе части этого равенства на :

.

Отсюда, обозначив для краткости энергию покоя электрона mc² через E₀ найдем

(1)

Подставив числовые значения величин, получим

ε’ = 0,43 МэВ.

2. Кинетическая энергия электрона отдачи, как это следует из закона сохранения энергии, равна разности между энергией ε падающего фотона и энергией ε ' рассеянного фотона:

T = ε - ε' = 0,32 МэВ.

3. Направление движения электрона отдачи найдем, применив закон сохранения импульса, согласно которому импульс падающего фотона р равен векторной сумме импульсов рассеянного фотона р' и электрона отдачи mv:

Р = р' + mv.

Векторная диаграмма импульсов изображена на рис.2. Все векторы проведены из точки О, где находился электрон в момент соударения с фотоном. Угол φ определяет направление движения электрона отдачи.

И з треугольника OCD находим

или

.

Так как р = ε/с и р' = ε'/с, то

Рис. 2 (2)

Преобразуем формулу (2) так, чтобы угол φ выражался непо­средственно через величины ε и Θ, за­данные в условии задачи. Из формулы (1) следует

(3)

Заменим в формуле (2) соотношение ε /ε ' по формуле (3):

Учитывая, что sin Θ = 2 sin(Θ / 2) cos(Θ / 2) и 1 - cos Θ =

= 2 sin² (Θ /2), после соответствующих преобразований получим

.

После вычисления по формуле (4) найдем tgφ = 0,701, откуда φ=35°.

Пример 2.4.3.

Фотон рентгеновского излучения с энергией ε = 0,15 МэВ испытал рассеяние на покоившемся свободном электроне, в результате чего его длина волны увеличилась на Δλ = 0,015 . Найдите угол, под которым вылетел комптоновский электрон отдачи.

Решение.

Увеличение длины волны рентгеновских лучей при их рассеянии веществом (явление Комптона) объясняется упругим столкновением фотонов с электронами. При упругом ударе фотон в соответствии с законом сохранения передает свободному электрону часть импульса и энергии. Уменьшение энергии фотона означает, согласно формулам ε = hγ = hc/ λ, уменьшение частоты рентгеновского излучения и

увеличение его длины волны.

По закону сохранения импульса, импульс p падающего фотона равен векторной сумме импульса p’ рассеянного фотона и импульса mv свободного электрона, который он приобрел в результате соударения с фотоном (рис. 2). Заметим, что угол рассеяния Θ на рис. 2 можно определить из формулы Комптона:

Следовательно, чтобы найти угол φ, необходимо знать еще два линейных элемента параллелограмма OABC, например, p и p’. Проведя СD перпендикулярно OА, имеем