Материал: Квантовая оптика. методические указания по физике для студентов всех специальностей факультета автоматизации и роботизации машиностроения. Агапитова Н.В., Деркачёва П.И

К.

Ответ: К.

Пример 2.1.10.

Д лина волны, на которую приходится максимум энергии излучения Солнца, мкм. Найти изменение массы Солнца за время t = 10 лет. Солнце считать абсолютно черным телом.

мкм

лет

Решение:

Изменение массы Солнца за 10 лет определим отношение излученной им энергии к квадрату скорости света c:

(1)

Излученную энергию найдем, умножив

интегральную светимость Солнца на площадь поверхности Солнца и время

или (2)

Согласно закону Стефана – Больцмана:

. (3)

Абсолютную температуру солнца найдем из закона смещения Вина:

(4)

Подставим выражение (4) в (3):

(5)

Теперь подставим выражение (5) в (2):

(6)

Подставим формулу (6) в (1):

или

Ответ: .

Пример 2.1.11.

В спектре Солнца максимум спектральной плотности энергетической светимости приходится на длину волны

λ₀ = 0,47 мкм. Приняв, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, найти интенсивность солнечной радиации (т.е. плотность потока излучения) вблизи Земли за пределами ее атмосферы.

Согласно определению плотности потока излучения , называемой так же интенсивностью излучения (радиации), можно записать:

(1)

где W_э – энергия излучения, Ф_э = W_э / t – поток сквозь поверхность S. Сравнивая выражения (1) и энергетическую светимость R_Т = , видим, что величины I,R_Т выражаются в одинаковых единицах.

Очевидно, интенсивность излучения I Солнца вблизи Земли пропорциональна энергетической светимости R_э поверхности Солнца. Чтобы найти связь между величинами I,R_э, учтем, что весь поток излучения, испускаемый поверхностью Солнца (пусть R_С – радиус Солнца), проходит сквозь поверхность сферы радиуса r, равного расстоянию от Солнца до Земли:

отсюда:

. (2)

Используя закон Стефана – Больцмана и вычислив температуру солнечной поверхности по закону смещения Вина λ₀T = b, находим

(3)

Так как величины r, r₀ – табличные, то записав в (2) вместо R_э ее значение из (3), определим искомую величину:

(4)

Подставим в формулу (4) числовые значения величин, выраженных в единицах СИ: λ₀ = 0,47 ∙ 10^-6 м, R_C = 6,95 ∙ 10⁸ м, r = 1,50 ∙ 10¹¹ м, σ = 5,67 ∙ 10^-8 Вт/(м² ∙ Т⁴), b = 2,90 ∙ 10^-3 м ∙ К. Выполнив вычисление, получим

1,8∙10³ Вт/м² = 1,8 кВт/м²

2.2. Фотоэффект

Пример 2.2.1.

Определить максимальную скорость v_max фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ₁=0,155 мкм; 2) γ - излучением с длиной волны λ₂=2,47 пм.

Решение.

Максимальную скорость фотоэлектронов опреде­лим из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:

(1)

Энергия фотона вычисляется по формуле , работа выхода А для серебра A = 4,7 эВ.

Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, ка­кая скорость ему сообщается, может быть выражена или по класси­ческой формуле

(2)

или по релятивистской

T = (m – m₀)c² (3)

Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающе­го фотоэффект: если энергия фотона ε много меньше энергии покоя электрона Е₀, то может быть применена формула (2); если же Е сравнима по величине с Е₀, то вычисление по формуле (2) приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо выражать по формуле (3).

1) В формулу энергии фотона подставим значения вели­чин и, произведя вычисления, для ультрафиолетового излу­чения получим

ε₁= 1,28 ∙ 10^-18 Дж = 8 эВ.

Его значение энергии фотона много меньше энергии покоя элек­трона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть вы­ражена по классической формуле (2), откуда

(4)

Выпишем величины, входящие в формулу (4):

ε₁ = 1,28 ∙ 10¹⁸ Дж (вычислено выше); А = 4,7 эВ =

= 4,7 ∙ 1,6 ∙ 10^-19 Дж = 0,75 ∙ 10^-18 Дж; m₀ = 9,11 ∙ 10^-31 кг.

Подставив числовые значения в формулу (4), найдем максималь­ную скорость:

v_max = 1,08 Мм/с.

2. Вычислим теперь энергию фотона γ - излучения:

= 8,04 фДж = 0,502 МэВ.

Работа выхода электрона (А = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией γ - фотона. поэтому можно принять, что макси­мальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона:

T_max = = 0,502 МэВ.

Так как в данном случае кинетическая энергия электрона сравнима с его энергией покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии

, где E₀ = m₀c². Выполнив преобразования,

найдем

.

Сделав вычисления, получим β = 0,755.

Следовательно, максимальная скорость фотоэлектронов, вырывае­мых γ - излучением,

v_max = cβ = 226 Мм/с.

Пример 2.2.2.

Определить красную границу λ₀ фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом длиной волны λ = 400 нм максимальная скорость v_max фотоэлектро­нов равна 0,65 Мм/с.

Решение.

При облучении светом, длина волны λ₀ которого соответствует красной границе фотоэффекта, скорость, а следова­тельно, и кинетическая энергия фотоэлектронов равны нулю. Поэтому уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

ε = А+Т в случае красной границы запишется в виде

ε = А, или hc/λ₀ = A.

Отсюда

λ₀ = hc/A (1)

Работу выхода для цезия определим с помощью уравнения Эйн­штейна:

. (2)

Выпишем числовые значения величин, выразив их в СИ: h = 6,62 ∙ 10^-34 Дж ∙ с; с=3 ∙ 10⁸ м/с; λ = 400 нм=4 ∙ 10^-7 м; m = 9,11 ∙ 10^-31 кг; v = 6,5 ∙ 10⁵ м/с.

Подставив эти значения величин в формулу (2) и вычислив, получим

A = 3,05 ∙ 10^-19 Дж = 0,305 аДж.

Для определения красной границы фотоэффекта подставим значения в формулу (1) и вычислим:

λ₀ = 651 нм.

Пример 2.2.3.

На плоский алюминиевый электрод падает ультрафиолетовое излучение с длиной волны нм. На какое максимальное расстояние d от его поверхности может удалиться фотоэлектрон, если вне электрода имеется однородное электрическое поле напряженностью В/см, задерживающее этот фотоэлектрон? Красная граница фотоэффекта для алюминия нм.

нм

В/см

нм

Решение:

Из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:

(1)

найти кинетическую энергию фотоэлектрона , которую он имеет сразу после вылета из электрода, и приравнять ее к работе однородного электрического поля: