Документ: Краткий курс лекций, страницы 21-25

23.3Естественный способ задания движения

− 0 +

s(t)

:

Рис. 48

Движение точки определяется заданием ее траектории и уравнения движения по этой траектории. (Пример: расписание движения поездов по железной дороге.) Уравнение движения точки по траектории при естественном способе движения имеет вид: s = s(t). Здесь s — взятая с соответствующим знаком длина дуги, отсчитываемая вдоль траектории от начала отсчета O на траектории до точки M .

Рис. 49

Рассмотрим на траектории движения точки три последовательных ее положения: точки M , M1 и

M2.

Если точка M1 занимает бесконечно близкое положение по отношению к точке M , то отрезок M M1 в пределе определит положение касательной к кривой в точке M .

Если траектория не является прямой линией, то три точки M , M1 и M2 определяют некоторую плоскость. Плоскость, занимающая предельное положение, когда точки M1 и M2 стремятся к точке M, называется соприкасающейся плоскостью. Касательная к кривой, построенная в точке M , лежит в этой плоскости.

В общем случае три точки M , M1 и M2 (при стремлении M1 и M2 к точке M ) однозначно определяют окружность в соприкасающейся плоскости, называемую окружностью кривизны или кругом кривизны. Радиус этой окружности называется радиусом кривизны.

Хорды M M1 и M1M2 при неограниченном приближении точек M1 к M и M2 к M1 определят касательные к кривой в точках M и M1, соответственно, а следовательно, и направление скоростей в этих точках (~v и ~v1).

Рис. 50

Перенесем вектор скорости ~v1 в точку M . Два вектора определят плоскость. При неограниченном стремлении точки 1 к M эта плоскость будет соприкасающейся.

Геометрическая величина вектора AB определяется из равенства:
AB = AK + KB	(25)

Точки K и B находятся на одной и той же окружности с центром в точке M . Разделим это равенство на t:

			AB	=	AK	+	KB	(26)
			t	=	t	+	t	(26)
			t		t		t

Отношение	AB	равно среднему ускорению точки M за время						t. Ускорение точки M является
Отношение	t	равно среднему ускорению точки M за время						t. Ускорение точки M является
	t					t стремится к нулю.
предельным значением среднего ускорения, когда						t стремится к нулю.

Рассмотрим вектор AKt , который направлен по касательной к траектории. Предельное значение модуля этого вектора называется касательной или тангенциальной составляющей ускорения

точки и имеет вид:

τ

t→∞ ¯

t

¯ =

t→∞ || | −t | ||

dt| |

¯

~

a =

lim

AK

lim

v~1 ~v

= d v

(27)

¯

Можно также рассматривать вектор касательного ускорения a~τ , направление которого совпадает с направлением скорости точки, а величина равна производной от модуля скорости точки.

Рис. 51

Обозначим через ε угол между векторами ~v и v~1. Тогда для предельного значения модуля вектора

¯

AB

¯

2

¯

t

¯

получим:

¯

t→∞ ¯

¯

v1ε

KB

t→∞

v1

S

v1

S v

¯

t

t ρ

t→∞ ρ

t ρ

¯

lim

¯

=

lim

=

lim

=

lim

=

(28)

¯

Здесь

S

— длина дуги

¯

1

¯

1

неограниченно

M M

. Предельное значение отрезка M O, когда точка M

приближается к M , называется радиусом кривизны траектории в точке M .

M1→M ¯

ε

¯

S

¯

ρ =

lim

¯

(29)

¯

ε

2

π

→

π

2

Угол ϕ определяется выражением ϕ =

−

. Предельное значение этого угла при

t

0

равно

.

KB

Предельное значение вектора

обозначим через a~n:

t

a~n = lim

KB

(30)

t

t→0

Модуль этого вектора равен v2 , а сам вектор находится в соприкасающейся плоскости и направлен

ρ

ортогонально к скорости точки в сторону вогнутости траектории по главной нормали. Поэтому вектор a~n называют нормальным ускорением точки.

~			: ~aτ
b	6	~τ
	:			-	~a
					~a
~nN
	N
	~an

Рис. 52

Рассмотрим систему осей координат с началом в точке M . Ось ~τ направим по касательной к

траектории точки, ось — по направлению главной нормали, а третью ось ~ — так, чтобы тройка

~n β

этих векторов образовала правую систему. Выбранные так оси представляют собой сопровождающий трехгранник, который называют также естественным трехгранником.

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника равны:

	dv		v2
aτ =		; an =		; aβ = 0	(31)
	dt		ρ

24 Кинематика абсолютно твердого тела

24.1Распределение скоростей в абсолютно твердом теле

Определение. Абсолютно твердым телом (А.Т.Т.) называют такую систему материальных точек, расстояния между двумя любыми точками которой остаются всегда неизменными.

Движение тела в кинематике начинают изучать с поступательного и вращательного движения. Во вращательном движении вводятся понятия угла поворота тела ϕ(t), угловой скорости и углового ускорения.

		A		~r	B
		¸		~r	B
		¸			z
	z0				µ


	6~rA					Последние две величины векторные, но для вращатель-
	6~rA		~rB			Последние две величины векторные, но для вращатель-
			~rB			ного движения их направление всегда постоянно — по
						ного движения их направление всегда постоянно — по
						оси вращения. Поэтому в решении часто используются
					y0	скалярные величины ωz (t) = ϕ˙ (t), εz (t) = ω˙ z (t), имеющие
0					-	смысл проекций этих векторов на ось вращения z. Точкой
0

x0ª						будем обозначать производную по времени. Рассмотрим,
x0ª						как распределяются скорости точек движущегося произ-
						вольно А.Т.Т

Рис. 53

d~rA

d~rB

~

Скорости точек A

и B твердого тела можно записать как VA =

dt

и VB =

dt

~

d(OB)

d(OA)

d(AB)

~

d(AB)

Но OB = OA + AB и

dt

=

dt

+

dt

, следовательно VB = VA +

dt

.

~

d~r

d(AB)

~

Назовем

dt

=

dt

скоростью точки В относительно точки A: VA/B

z

6

y

A

-

B

¸

x ª

~r

z

z0

µ

6~rA

~rB

y0

0

-

x0ª

~	d~r		d	~	~	~
VA/B =	dt	=	dt	(xi	+ yj	+ zk)

Axyz — система координат, жестко связанная с твердым телом; xyz — проекции вектора ~r на оси связанной системы. Так как x, y, z — константы,

d~r	~		~		~
	= x	di	+ y	dj	+ z	dk
dt				dt		dt
	dt

Рис. 54

Найдем проекции d~rdt на подвижные оси Axyz. Проекция на ось x:

d~r

~

di

dj

dk

dj

dk

|x =

· i

= x

· i

+ y

· i

+ z

· i

= y

· i

+ z

· i

(32)

dt

Проекция на ось y:

d~r		d~r	~	~
					di
	\|y =		· j	= x
dt		dt			dt

~

dj

~

dk

~

di

~

dk

~

· j

+ y dt

· j

+ z dt

· j

= xdt

· j

+ z dt

· j

(33)

~

= VA/B

Проекция на ось z:

d~r

~

di

dj

dk

di

dj

|z

=

· k = x

· k + y

· k + z

· k = x

· k + y

· k

dt

В выражениях было учтено, что скалярное произведение d~dtq

· ~q

равно 0 , так как

d~q

~q · ~q = 1 =

· ~q + ~q ·

= 0 = 2

· ~q = 0 =

· ~q = 0

dt

Далее отметим, что

~

di

~ ~

dj

di

~

dj

i · j = 0 = dt · j + i · dt

= 0 = dt

· j = −i · dt

С учетом (35) введем следующие обозначения:

~

dj

~

dk

~

ωx = dt

× k = − dt

× j;

~

dk

~

di

~

ωy =

dt

× i = −

dt

× k,

~			~
	di	~	dj	~

ωz = dt		× j = −dt		× i

Тогда выражения (32-33) можно переписать:

Проекция на ось x:

d~r

dt |x = ωyz − ωz y

Проекция на ось y:

d~r

dt |y = ωz x − ωxz;

Проекция на ось z:

(34)

(35)

(36)

(37)

d~r

dt |z = ωxy − ωyx

Рассмотрим векторное произведение ω~ × ~r, где в качестве компонент вектора ω~ возьмем ωx, ωy, ωz :

ω~	~r =	ωx		ωy	ωz
			~	~	~
×			i	j	k
×			x	y	z

= ~i(ωyz	−	ωz y) + ~j(ωz x	−	ωxz) + ~k(ωxy	−	ωyx)	(38)
	−		−		−

d~r

Сравнивая (37) и (38), получаем dt = ω~ × ~r. Построеный таким образом вектор ~ω является единственным и не зависит от выбора точки A, называемой полюсом.

Определение. Вектор ω~ , проекции которого определяются формулами (36) называется вектором угловой скорости твердого тела.

~ ~ ~

В итоге получаем VB = VA + ω~ ×AB. Эта формула называется основной формулой кинематики А.Т.Т. и выражает Теорему о распределении скоростей при движении абсолютно твердого тела.

Скорость произвольной точки А.Т.Т. равняется геометрической сумме вектора скорости полюса и скорости точки во вращении вокруг полюса.

24.2 Теорема о независимости угловой скорости от выбора полюса

Теорема. Угловая скорость абсолютно твердого тела не зависит от выбора полюса.

Рис. 55

Доказательство.

Предположим, что это не так, т.е. ω~A =6 ω~B .

По теореме о распределении скоростей в твердом теле (с. 22)

	~	~	~
	VM = VA + ω~ A × AM
	~	~	~
	VM = VB + ω~B × BM
~ ~	~
Но VB = VA + ω~A × AB. Подставим это выражение в (40) :
	~ ~	~	~
	VM = VA + ω~ A × AB + ω~ B × BM

(39)

(40)

(41)

~	~	~	~ ~	~
Из (39) и (41) следует ω~A × AM = ω~ A × AB + ω~B × BM или ω~A × (AM − AB) − ω~B				× BM = 0. Но
~ ~ ~	~	~	~
AM = AB + BM , следовательно ω~ A × BM − ω~B × BM = 0			или (ω~ A − ω~ B ) × BM = 0.

Поэтому ~ωA = ω~B . Что и требовалось доказать.

24.3 Поступательное движение

Определение. Движение А.Т.Т. называется поступательным если любой отрезок проведенный в теле движется параллельно своему первоначальному положению.

Теорема. (о поступательном движении тела) При поступательном движении А.Т.Т. траектории всех

его точек при наложении совпадают, а скорость и ускорение всех точек А.Т.Т. равны между собой.

Доказательство.

Проведем в теле произвольный отрезок AB. Точки A и B произвольные.

		A		~r	B
		¸		~r	B
		¸			z
	z0				µ
	6~rA
	6~rA		~rB
			~rB
					y0
0					-
0

x0ª

Рис. 56

Согласно определению траектория точки В получается из траектории точки смещением на постоянный вектор

~ . Следовательно траектории точек и совпадают при

AB

наложении. Найдем скорости и ускорения.

~	d~rA	~	d~rB	~	d~rB		d~rA			~
										dAB
VA =		; VB =		~rB = ~rA + AB =		=			+
	dt		dt		dt			dt			dt

Материал: Краткий курс лекций

24.3 Поступательное движение

Смотрите также: