Документ: Краткий курс лекций, страницы 61-65

xA = R cos ϕ; yA = R sin ϕ; zA = 0

Пример 1: Точка M на поверхности сферы: n = 1, k = 1.

Уравнение связи: x2 + y2 + z2 = R2

S = 3 · n − k = 2

Если за обобщенные координаты выбрать γ (широту) и ϕ (долготу), то имеем следующие уравнения:

xM = R cos ϕ cos γ; yM = R cos ϕ sin γ; zM = R sin γ
Если закон изменения обобщенных координат известен
q1 = q1(t); q2 = q2(t); ...; qs = qs(t),	(140)
то, подставив (140) в (139), можно найти траектории движения точек системы.

Уравнения (140) определяют траекторию некоторой точки в s-мерном пространстве. Пространство q1, q2, ..., qs называется конфигурационным пространством механической системы. Изучение движения механической системы можно свести к нахождению траектории изображающей точки в конфигурационном пространстве.

Рассмотрим точку M 0, положение которой определяется как

M 0(q1 + δq1, q2 + δq2, ..., qs + δqs)

δq1, δq2, ..., δqs — вариации обобщенных координат Положению точки M 0 соответствует радиус-вектор

~rη0 = ~rη0 (q1 + δq1, q2 + δq2, ..., qs + δqs, t); η = 1, 2, ..., n

При перемещении изображающей точки в точку 0 (в конфигурационном пространстве) точка с массой mη механической системы совершает перемещение

δ~rη = ~rη0 − ~rη = ~rη0 (q1 + δq1, q2 + δq2, ..., qs + δqs, t) − ~rη (q1, q2, ..., qs, t)
Разложим это выражение в ряд Тейлора:
δ~rη = ~rη(q1, q2, ..., qs, t) +	∂~rη	δq1 +	∂~rη	δq2 + ... +			∂~rη	δqs − ~rη(q1, q2, ..., qs	, t),

	∂q1		∂q2				∂qs
или			X		∂~rη
			X
			s
		δ~rη =				δqi			(141)
		δ~rη =			∂qi	δqi			(141)
			i=1		∂qi
			i=1

Выражение (141) устанавливает связь между возможными перемещениями точек механической системы и вариациями обобщенных координат.

Вычислим элементарную работу активных сил на возможном перемещении, определяемом выражением (141) :

n

~

n

~

s

∂~rη

s

n ~

∂~rη

X

X X

δA = η=1 Fη · δ~rη = η=1 Fη · i=1

∂qi

δqi = i=1 η=1 Fη ·

∂qi

δqi

или

s

δA =

X

Qiδqi,

(142)

i=1

где

n

X

~

∂~rη

X

∂xη

∂yη

Qi =

Fη ·

=

Fηx

+ Fηy

(143)

η=1

∂qi

η=1

∂qi

~

называется обобщенной силой; Fηx, Fηy, Fηy — проекции вектора Fη на оси координат, а xη, xη , zη — координаты точки с массой mη

Определение. Обобщенной силой называется коэффициент перед вариацией обобщенной координаты в выражении для сумм элементарных работ всех активных сил.

Если использовать понятие мощности

		n			s
		X	~ ~ E	=	X	E	(144)
		N = Fη · Vη		=		Qiq˙i	(144)
		η=1			i=1
где q˙E =	dqiE	— возможная обобщенная скорость, то обобщенную силу можно определить так:
где q˙E =	dt
i	dt

Определение. Обобщенной силой называется коэффициент перед возможной обобщенной скоростью в выражении для суммы мощностей всех активных сил.

Размерность обобщенной силы:

[Q] = [F ][r] = Hm (согласно выражению (143))
q	[q]

Пример 1

Пусть обобщенная координата — декартова координата точки. [q] = m, следовательно, [Q] = Hmm = H(размерность силы)

Пример 2

Пусть обобщенная координата — угол.

[q] = rad, следовательно, [Q] = Hmrad = (размерность момента).

48 Тождества Лагранжа

Вывод вспомогательных тождеств Лагранжа :

Найдем скорость точки с массой mη. Для этого продифференцируем по времени уравнение

~rη = ~rη(q1, q2, ..., qs, t),

где η=1,2,3,...,n (см. Обобщённые координаты механической системы, с. 57)

или

~	∂~rη dq1
Vη =
	∂q1 dt

наконец

~

d~rη

d

Vη

=

~rη(q1, q2, ..., qs, t)

dt

X

∂~rη

dq2

∂~rη dqs

∂~rη

s

∂~rη

+

+ ... +

+

=

q˙i +

,

∂q2

dt

∂qs

dt

∂t

i=1

∂qi

∂t

~

s

∂~rη

Vη =

X

q˙i +

,

i=1

∂qi

∂t

где q˙i = dqdti — обобщённая скорость

~ ~

Vη = Vη (qi, q˙i, t)

(145)

(146)

(147)

(148)

(149)

Таким образом, скорость точки является функцией обобщенных координат, скоростей и времени.

Ускорение точки с массой mη.

~

dqs

~

dq˙2

~

~aη =

dVη

=

∂Vη dq1

+

∂Vη dq2

+ ... +

∂Vη

+

∂Vη dq˙1

+

∂Vη

+ ... +

∂Vη dq˙s

+

∂Vη

(150)

dt

∂q1 dt

∂q2 dt

∂qs

dt

∂q˙1

dt

∂q˙2

dt

∂q˙s dt

∂t

или

s

~

s

~

X

∂Vη

X

∂Vη

~aη =

q˙i +

q¨i +

(151)

i=1

∂qi

i=1

∂q˙i

∂t

Дифференцируя по времени выражение (148), получаем:

~

s

dVη

X

d

∂~rη

∂~rη dq˙i

d

∂~rη

~aη =

= i=1 "

Ã

! q˙i +

#

+

Ã

!

dt

∂qi

∂qi dt

dt

∂t

или

~

s

dVη

X

d

∂~rη

X

∂~rη

d

∂~rη

~aη =

= i=1

Ã

! q˙i + i=1

q¨i

+

Ã

!

dt

∂qi

dt

∂t

Сравнивая выражения (151) и (153), получим

d

Ã

∂~rη

!

~

=

∂Vη

dt

∂qi

∂~rη

~

=

∂Vη

∂qi

∂q˙i

d

Ã

∂~r

!

~

∂V

η

=

η

dt

∂t

Выражения (154), (155) и (156) называются тождествами Лагранжа

(152)

(153)

(154)

(155)

(156)

49 Уравнения Лагранжа

Чтобы найти уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, обратимся к общему уравнению динамики

X δAka + X δAku = 0

(157)

Для общности не будем предполагать, что все наложенные на систему связи являются идеальными. Поэтому в первую сумму могут входить как работы активных сил, так и, например, работы сил трения.

Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение определяется обобщенными координатами

q1, q2, ...qs. Тогда	X δAk = Q1δq1 + Q2δq2 + ... + Qsδqs.
			(158)
Очевидно следующее преобразование
	X δAku = Q1uδq1 + Q2uδq2 + ... + Qsuδqs,		(159)
где Qu, Qu, ..., Qu — обобщённые силы инерции, которые равны
1 2	s
	Qiu = X F~ku	∂~rk	(160)

		∂qi

Подставляя величины (158) и (159) в уравнение (157), найдем

(Q1 + Qu1 )δq1 + ... + (Qs + Qus )δqs = 0.

Так как все δq1, δq2, ..., δqs между собой независимы, то полученное равенство может выполняться тогда и только тогда, когда каждый из коэффициентов при δq1, δq2, ..., δqs в отдельности равен нулю. Следовательно, должно быть

(Q1 + Q1u) = 0, ..., (Qs + Qsu) = 0.

(161)

Полученными уравнениями можно непосредственно пользоваться для решения задач динамики. Преобразуем сначала соответствующим образом величину Qu1 . Поскольку сила инерции любой из точек системы

~ u		~
			dVk
Fk	= −mk~ak = −mk
				dt
то первая из формул (160) дает
− Q1u = X		~
		mkdVk ∂~rk
					.	(162)
		dt	∂q1

Чтобы выразить Qu1 через кинетическую энергию системы, надо преобразовать правую часть равенства (162) так, чтобы она содержала только скорости Vk точек системы. С этой целью заметим

прежде всего, что

ÃV~k

!

Ã

! .

~

∂~rk

d

∂~rk

d

∂~rk

dV

k

=

− V~k

(163)

dt

∂q1

dt

∂q1

dt

∂q1

Дальнейшее преобразование осуществляется с помощью следующих двух равенств:

∂~rk		~		d ∂~rk	~
	=	∂Vk	,		=	dVk	.	(164)

∂q1				dt ∂q1
		∂q˙1				dq1

Докажем сначала справедливость первого из них. Так как согласно

	~rk = ~rk(q1, q2, ..., qs),
то		d~rk		∂~rk				∂~rk
~
Vk =			=			q˙1	+ ... +		q˙s
		dq1			∂q1			∂qs

и

~

∂Vk = ∂~rk . ∂q˙1 ∂q1

Справедливость второго из равенств (164) следует из того, что операции полного дифференцирования по t и частного по q1 переместимы, т.е.

d

∂~rk

∂

d~rk

~

=

dVk

.

dt ∂q1

∂q1

dt

dq1

Подставив теперь величины (164) в (163), получим

dV~k ∂~rk

=

d

V~k

∂V~k

V~k

∂V~k

=

d

1 ∂V~k2

dt ∂q1

dt

∂q˙1

∂q1

dt

2 ∂q˙1

−

− 2 ∂q1

~ 2

2

,

и формула (162), если учесть, что сумма производных равна производной от суммы, а Vk

= Vk

примет вид

ÃX

2 k

!# − ∂q1 ÃX

2 k ! = dt ∂q˙1 − ∂q1 ,

Q1u = dt " ∂q˙1

d

∂

mkV 2

∂

mkV 2

d

∂T ∂T

P

где T =

mkVk2/2 — кинетическая энергия системы.

Аналогичные выражения получатся для всех остальных обобщенных сил инерции. В результате равенства (161) дадут окончательно

Ã!

d ∂T	−	∂T	= Q1,

dt ∂q˙1		∂q1

Ã!


d		∂T		−	∂T	= Q2,

dt ∂q˙2					∂q2
dt	Ã	................				= Qs.
		∂q˙s	!	− ∂qs
d		∂T			∂T

Эти уравнения и представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа 2-го рода.

50 Теория удара

50.1 Определения

Определение. Явление, при котором скорости точек тела за малый промежуток времени меняются на конечную величину, называется ударом. Ударный импульс

S~уд = Z	F~удdt = F~удсрτ	(165)
0

отличается от импульса неударных сил тем, что время удара τ мало, ударные силы Fуд Sуд принимает конечное значение. Поэтому изучая удар будем пренебрегать

•неударными силами по сравнению с ударными,

•перемещениями точек тела во время удара.

Теорема об изменении количества движения (с. 38) в случае удара имеет вид

~ ~ X ~e Q1 − Q0 = Sk

Интегрируя теорему об изменении момента (относительно точки A) количества движения

~		X
dKA		X	~
	=		m~A(Fk),
dt	=	k	m~A(Fk),
		k

в случае удара, получим с учетом (165)

велики, а

(166)

X

~ 1 ~ 0 ~e

KA − KA = m~A(Sk) (167)

50.2 Удар материальной точки о поверхность

С некоторой высоты H точка массой m падает на поверхность и отскакивает на высоту h (рис. 89).

H	~v	~u
h	?	6
	?
Рис. 89		Рис. 90

Скорость точки при ударе о поверхность v, при отскоке от поверхности u (рис. 90). Очевидно, u < v.

Определение. Отношение скоростей

k = uv

называют коэффициентом восстановления при ударе. Его можно найти экспериментально. Согласно формуле Галилея, v = √2gH, u = √2gh. Отсюда k = qh/H. Коэффициент восстановления меняется в пределах 0 ≤ k ≤ 1.

Материал: Краткий курс лекций

48 Тождества Лагранжа

49 Уравнения Лагранжа

Смотрите также: