Материал: Краткий курс лекций

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

При добавлении связей к системе тел, на которую действует система сил, эквивалентная нулю, состояние системы не меняется.

4Теорема о приведении произвольной системы сил к двум силам

Теорема. Произвольную систему сил с помощью только элементарных операций можно привести к двум силам.

Доказательство.

1. Одна сила: Разложить по правилу параллелограмма.

*
			-
	j
	Рис. 7
2. Две силы: Уже приведены.
			~		~	~
3. Три силы: ( FA в точке A,					FB в точке B, FC в точке C):
			~
				FA
			¸			~
						~
						ºFC
~
		FB		A
		6
						C

Рис. 8

(a) Через точку и вектор ~C проводим плоскость (рис. 9). Точка в эту плоскость может

A F B

и не попадать.

ºFC

~	A
FB	A
6

Рис. 9

(b) Через точку и вектор ~B проводим плоскость (рис. 10).

A F

ºFC

~	A
FB	A
6

Рис. 10

(c)На линии пересечения плоскостей выберем произвольную точку D (рис. 11).

(d)Провести прямые AB, BD в одной плоскости и AC, DC в другой (рис. 11).

(e) Разложить		вектор	~	на направляющие		AB, BD	по правилу параллелограмма.
			FB
~	~ 0	~ 00		~	на направляющие		AC, DC по правилу паралле-
FB	= FB + FB . Разложить вектор FC
	~	~ 0	~ 00
лограмма. FC = FC			+ FC .

(f)Переместить составляющие векторов FB и FC вдоль направляющих к точкам A и D (рис. 12).

~ 00

¸ µ FB

ºFC

~ 0

ÁF

µ FB

B ~

Á ~

Рис. 11

Рис. 12

(g) В точках A и D сложить силы по правилу параллелограмма.

Понятно, что систему, состоящую из большего (чем три) количества сил, можно привести к двум силам, последовательно работая с каждыми тремя силами.

Теорема. Произвольную систему сил только с помощью элементарных операций можно привести к двум силам, одна из которых будет приложена в заранее указанной точке.

Доказательство.

Сначала система приводится к двум силам по алгоритму предыдущей теоремы. Далее необходимо провести (две) плоскости через заданную точку и полученные векторы сил. Заданная точка будет находиться на пересечении плоскостей. Остается выбрать произвольную точку на линии пересечения плоскостей и повторить пункты 4-7 доказательства предыдущей теоремы.

5 Момент силы относительно точки

O F

Определение. Моментом силы относительно точки называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т.е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии действия силы, и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действия силы, в ту сторону, откуда последовательный обход точек: выбранной, начала вектора силы, конца вектора силы и снова выбранной точки виден происходящим против часовой стрелки.

Рис. 13

Если — точка, относительно которой определяется момент силы ~ , то момент силы обозна-

O F

чается обычно, как O . Можно показать, что, если точка приложения силы ~ определяется

M (F ) F

радиусом-вектором ~r относительно точки O, то справедливо соотношение

~ ~	~	(5)
MO(F ) = ~r × F

т.е. момент силы относительно точки равен векторному произведению вектора на вектор ~ .

~r F

Пусть x, y, z — координаты точки приложения силы F , а Fx, Fy, Fz — проекции силы на координатные оси. Тогда момент силы F относительно начала координат имеет вид:

M~O(F~ ) = ~r

F~ = ¯

= (yFz

zFy )~i + (zFx

xFz )~j + (xFy

yFx)~k

(6)

−

Отсюда следует, что проекции момента силы относительно начала координат на координатные оси задаются формулами:

MOx( ~ ) =			z −			y
	~				xFz
	MOy(F ) = zFx				xFz
	F	yF		−	zF
	~
	MOz (F ) = xFy − yFx

6 Связь моментов одной и той же силы относительно разных точек

A¾

По определению момент силы относительно центра O:

MO(F ) = OA × F ; MO1

(F ) = O1A × F .

Вектор O1A можно представить как сумму O1A = O1O + OA, поэтому

~ ~

(7)

MO1 (F ) = O1A × F = O1O × F + OA × F = O1O × F + MO(F )

Рис. 14

Отсюда получаем связь моментов относительно разных центров

~	~ ~ ~	~ ~
MO1	(F ) = MO(F ) + O1O × F

7Теорема о проекциях векторов моментов силы относительно разных точек

Теорема. Проекции векторов моментов одной и той же силы относительно двух разных точек на прямую, проходящую через эти точки, равны между собой.

Доказательство.

Используем формулу связи моментов одной и той же силы относительно разных точек:

~	~ ~ ~	~ ~
MO1	(F ) − MO(F ) = O1O × F

Для проекций левой и правой частей этого равенства на ось O1O можно записать:

~	~	~ ~	~ ~
Пр{MO1	(F )} − Пр{MO(F )} = Пр{O1O × F }

(8)

(9)

~	~	~	~
Но Пр{O1O × F } = 0, так как вектор O1O × F перпендикулярен плоскости, в которой находится
	~	~	~ ~
ось O1O. Следовательно, Пр{MO1		(F )} = Пр{MO(F )}

8Момент силы относительно оси

		~ ¸
	K	~ ¸
	K	F

M A O

Рис. 15

Определение. Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная проекции вектора момента силы относительно любой точки оси на саму ось.

Один из способов вычисления момента силы относительно оси:

1.Выбрать на оси произвольную точку и построить через эту точку плоскость, перпендикулярную оси.

2.Спроектировать на плоскость силу.

3.Определить момент полученной проекции силы относительно выбранной точки.

9 Главный вектор, главный момент системы сил

					~
					F2
					~
				µ ¸ F1


0		: A2		-	A1
0			z		A1
			z

	ª				j
	ª				j
	~
		Fn
	Рис. 16				~
	Рис. 16				UF3

							~	~	~
Пусть дана произвольная система сил {F1								, F2	, . . . , Fn}.
				~	n	~	называют главным вектором. Сумму
Сумму этих сил R =					k=1 Fk		называют главным вектором. Сумму
моментов сил				относительно какого-либо полюса (центра приведения)
моментов сил					P
~	P	n	~ ~		P	~	~
~		n	~ ~		n	~	~
LO =		k=1 MO(Fk) =			k=1 OAk × Fk называют главным моментом

рассматриваемой системы сил.

10Связь главных моментов системы сил относительно разных точек

LO =

MO(Fk) =

OAk

× Fk

k=1

LO1

MO1

(Fk) =

(O1Ak × Fk) =

[O1O × Fk

+ OAk × Fk]

k=1

LO1

O1O × Fk +

OAk

× Fk

= O1O ×

Fk +

k=1

OAk × Fk

k=1

Здесь

n ~

— главный момент относительно

k=1 Fk — главный вектор системы, а

k=1 OAk × Fk

Следовательно,

−

~ .

точки O. P

LO1

LO = O1O

Источник: https://studfile.net/preview/16669168/

Смотрите также:


_Rezonans_napryazheniy
_Ugolov_Process_05
'Fratres' Арво Пярта - молитва в музыке
'Миссия университета' как научно-педагогический концепт эпохи постиндустриального развития
«Досрочные страховые пенсии»
«Характеристика объектов коммерческой деятельности в торговле»
(никита)KUL_T_KL_EKZAMEN
[1 курс] БЖД
[ТЕСТЫ] по гистологии IMK №2